Ableiten statt abzählen: Lichterwald entsteht

Kurz gesagt: Ableiten heißt, eine unbekannte Aufgabe aus einer bekannten zu erschließen: 7 + 8 aus 7 + 7, oder 8 + 5 über die Zehn. Studien zeigen, dass Kinder mit begründeten Ableitungsstrategien auch Aufgaben lösen, die sie nie geübt haben, besser als mit reinem Drill. Genau darum geht es in „Aufgabenfamilien: Mathe lernen“, einer App, die gerade entsteht. Ihre Spielwelt heißt Lichterwald.

Eine Szene am Küchentisch (ausgedacht, aber typisch): „Sieben plus acht?“ Das Kind hebt die Hände und beginnt bei sieben zu zählen. Bei fünfzehn kommt es an, ein bisschen außer Atem. Zwei Minuten später, bei sieben plus sieben, kommt die Antwort sofort: „Vierzehn, das weiß ich.“ Die Brücke zwischen beiden Aufgaben ist kurz. Nur hat das Kind sie noch nicht gesehen.

Was heißt Ableiten?

Ableiten heißt: Man nutzt eine Aufgabe, die man schon sicher weiß, um eine neue zu lösen. Im Beitrag Partnerzahlen bis 10 haben wir gezeigt, dass abgeleitete Aufgaben später häufiger aus dem Gedächtnis gewusst werden als gezählte. Hier geht es um die Wege selbst, vor allem im Zahlenraum bis 20:

Weg	Beispiel	So wird gedacht
Verdoppeln	6 + 6	„Das Doppelte von sechs, zwölf.“
Fast verdoppeln	6 + 7	„6 + 6 sind 12, einer mehr: 13.“
Nachbaraufgabe	9 + 5	„10 + 5 sind 15, einer weniger: 14.“
Erst zur Zehn	8 + 5	„8 + 2 sind 10, dann noch 3: 13.“
Minus über Plus	13 − 8	„Von 8 bis 13 fehlen 5.“

Den letzten Weg haben wir im Beitrag über Umkehraufgaben beschrieben.

Was sagt die Forschung?

Verständnis und Strategien hängen zusammen. Canobi, Reeve und Pattison (1998) untersuchten Sechs- bis Achtjährige. Kinder, die verstanden, dass man Zahlen zerlegen und Summanden tauschen oder umgruppieren kann, nutzten häufiger Zerlegungs- und Abrufstrategien und lösten auch fremde Aufgaben schneller und genauer.

Begründete Strategien übertragen sich. In einer Studie mit 85 Kindern vom Kindergarten bis zur dritten Klasse übte eine Gruppe zwölf Wochen lang den Weg über die Zehn mit Begründung („10 + 5 sind 15, 9 ist eins weniger als 10, also ist 9 + 5 eins weniger als 15“). Eine andere Gruppe übte dieselben Aufgaben als Drill. Die Gruppe mit der Strategie war danach flüssiger bei Aufgaben mit 8 und 9, die sie gar nicht geübt hatte. Die Drill-Gruppe schnitt hier schlechter ab (Baroody et al., 2016).

Beim Verdoppeln zählt die Anleitung. 78 Erstklässler übten Verdopplungen oder „plus eins“, entweder mit stark angeleitetem Entdecken der Beziehungen oder nur durch Üben. Das angeleitete Entdecken half dabei, das Gelernte auf verwandte, nicht geübte Aufgaben zu übertragen. Beim Verdoppeln war es dem reinen Üben überlegen (Purpura et al., 2016).

Kinder brauchen Zeit, und sie gehen verschiedene Wege. In Japan, wo der Weg über die Zehn im Unterricht eine große Rolle spielt, nutzten Erstklässler ihn im Lauf des Schuljahres nach und nach immer häufiger. Zählen und das Sehen von Gruppen halfen ihnen dabei, und jedes Kind kam auf seinem eigenen Weg dorthin (Murata, 2004). In einer anderen Studie hatten 83 Erstklässler zwei Strategien für Aufgaben wie 8 + 7 gelernt: über die Zehn und über Verdopplungen. Leistungsstärkere Kinder wandten sie schneller und sicherer an, wählten aber nicht geschickter zwischen ihnen als schwächere (Torbeyns, Verschaffel & Ghesquière, 2005).

Für Eltern heißt das aus unserer Sicht: Es lohnt sich, über Wege zu sprechen, statt nur Ergebnisse abzufragen. Und es ist normal, wenn ein Kind lange bei einer Lieblingsstrategie bleibt.

Was Sie tun können

1. Verdopplungen sichern. Mit Fingern, Spiegel oder zwei gleichen Würfeln: 3 + 3, 4 + 4, 5 + 5. Sie sind die Anker für viele andere Aufgaben.
2. „Einer mehr“ entdecken. Stellen Sie 6 + 6 und gleich danach 6 + 7. Fragen Sie: „Was ist anders?“
3. Päckchen statt Einzelaufgaben. 6 + 1, 6 + 2, 6 + 3, 6 + 4: „Was passiert mit dem Ergebnis?“ Solche Reihen machen Nachbaraufgaben sichtbar.
4. Zwei Eierkartons für die Zehn. Acht Eier im ersten Karton, fünf kommen dazu: Zwei füllen den Karton, drei gehen in den zweiten. So wird „erst zur Zehn“ greifbar.
5. Nach dem Weg fragen. „Wie hast du das gerechnet?“ Loben Sie den Weg, nicht das Kind: „Du hast das Doppelte benutzt.“
6. Zählen nicht verbieten. Zählen ist ein Anfang. Zeigen Sie daneben einen kürzeren Weg und lassen Sie Ihr Kind wählen.
7. Wenige Aufgaben, oft. Lieber jeden Tag fünf Minuten als einmal pro Woche eine lange Übungsstunde.

Lichterwald entsteht

Wir arbeiten an einer neuen App: „Aufgabenfamilien: Mathe lernen“. Sie entsteht gerade und ist noch in keinem Store. Die Spielwelt heißt Lichterwald. Das Glühwürmchen Lumi begleitet die Kinder durch einen nächtlichen Wald, in dem verstreute Lichterfamilien wieder zusammenfinden sollen. Lumi spricht alle Anweisungen, Lesen ist nicht nötig. Die App gibt es nur auf Deutsch.

Was wir für das Ableiten entschieden haben:

• Lichter landen als Gruppe. Im Laternenregal, zwei Reihen mit je zehn Plätzen und einer Lücke nach jeder Fünf, werden Lichter nie einzeln vorgezählt. Acht erscheinen als fünf und drei.
• Jeder Weg hat einen Ort. Am Spiegelsee machen Frösche alles doppelt. Später folgt auf eine Verdopplung manchmal die Aufgabe mit „einem mehr“, etwa 7 + 7 und dann 7 + 8. An der Sternenbrücke wird erst die Zehn voll, dann gehen die Lichter weiter: bei 8 + 5 füllen zwei die erste Zehn, drei gehen hinüber. Kleine Reihen wie 6 + 1, 6 + 2, 6 + 3 laden ein, ein Muster zu entdecken.
• Lumi benennt den Weg. Nach einer gelungenen Aufgabe sagt Lumi zum Beispiel: „Du bist erst zur Zehn gegangen und dann weiter!“ Manchmal fragt Lumi auch: „Wie hast du das gesehen?“, und das Kind tippt einen von mehreren gesprochenen Wegen an. Zählen ist dabei eine erlaubte Antwort.
• Kein Falsch, keine Uhr. Geht etwas schief, „flackern“ die Lichter nachdenklich, und die Hilfe wird Schritt für Schritt deutlicher. Es gibt keine sichtbare Zeit, keine Punkte, keine Serien. Eine Nacht dauert etwa sieben Minuten und endet mit einem Sonnenaufgang.

Warum so? Weil die Forschung oben zeigt: Strategien wirken, wenn sie begründet und sichtbar sind, und nicht, wenn man Aufgaben nur oft genug wiederholt. Mehr zur App finden Sie auf der Seite Aufgabenfamilien: Mathe lernen.

Häufige Fragen

Welche Strategie sollte mein Kind zuerst lernen? Verdopplungen und die Zerlegungen der Zehn. Auf ihnen bauen „einer mehr“, Nachbaraufgaben und der Weg über die Zehn auf.

Muss mein Kind alle Wege beherrschen? Nein. Wichtig ist, dass es überhaupt ableitet statt zählt. Viele Kinder haben eine Lieblingsstrategie, und das ist in Ordnung (Torbeyns et al., 2005).

Ist Ableiten nicht langsamer als Auswendiglernen? Am Anfang ja. Abgeleitete Aufgaben werden aber mit der Zeit zu gewussten, und mit Begründung gelingen auch neue Aufgaben (Baroody et al., 2016).

Gibt es die App auch auf Englisch? Nein. „Aufgabenfamilien: Mathe lernen“ gibt es nur auf Deutsch. Eine App ersetzt außerdem keine Diagnostik, wenn ein Kind dauerhaft zählend rechnet.

Quellen

• Baroody, A. J., Purpura, D. J., Eiland, M. D., Reid, E. E. & Paliwal, V. (2016). Does fostering reasoning strategies for relatively difficult basic combinations promote transfer by K-3 students? Journal of Educational Psychology, 108(4), 576–591. https://doi.org/10.1037/edu0000067
• Canobi, K. H., Reeve, R. A. & Pattison, P. E. (1998). The role of conceptual understanding in children’s addition problem solving. Developmental Psychology, 34(5), 882–891. https://doi.org/10.1037/0012-1649.34.5.882
• Murata, A. (2004). Paths to learning ten-structured understandings of teen sums: Addition solution methods of Japanese grade 1 students. Cognition and Instruction, 22(2), 185–218. https://doi.org/10.1207/s1532690xci2202_2
• Purpura, D. J., Baroody, A. J., Eiland, M. D. & Reid, E. E. (2016). Fostering first graders’ reasoning strategies with basic sums: The value of guided instruction. The Elementary School Journal, 117(1), 72–100. https://doi.org/10.1086/687809
• Torbeyns, J., Verschaffel, L. & Ghesquière, P. (2005). Simple addition strategies in a first-grade class with multiple strategy instruction. Cognition and Instruction, 23(1), 1–21. https://doi.org/10.1207/s1532690xci2301_1

Lernwunder-Redaktion · Chaolan Lu