Kurz gesagt: Zahlzerlegung bedeutet, eine Zahl als Ganzes aus zwei Teilen zu sehen: 8 ist 5 und 3, aber auch 6 und 2. Dieses Teil-Ganzes-Verständnis ist die Grundlage dafür, dass Kinder sich vom Abzählen lösen und später sicher über die Zehn rechnen. Studien zeigen: Kinder, die Zerlegungen kennen und nutzen, rechnen genauer und flexibler. Auswendiglernen allein reicht dafür aber nicht.

Eine kleine Szene, wie sie viele Eltern kennen (zur Veranschaulichung erfunden): Ein Kind rechnet 8 + 5. Es hält die Faust hoch, flüstert „neun, zehn, elf, zwölf, dreizehn“ und klappt dabei einen Finger nach dem anderen aus. Das Ergebnis stimmt. Ein anderes Kind sagt fast sofort: „Zwei fehlen bis zehn, dann noch drei, also dreizehn.“ Beide sind in der ersten Klasse. Der Unterschied zwischen ihnen hat einen Namen: Zahlzerlegung.

In unserem letzten Beitrag ging es um Matheangst bei Kindern. Heute schauen wir auf das Fundament, auf dem sicheres Rechnen steht.

Was bedeutet Zahlzerlegung eigentlich?

Zahlzerlegung bedeutet, eine Zahl in zwei (oder mehr) Teile aufzuteilen und zu wissen, dass die Teile zusammen wieder das Ganze ergeben. Die 8 lässt sich zerlegen in 7 und 1, 6 und 2, 5 und 3 oder 4 und 4. In der Fachsprache heißt das Teil-Ganzes-Verständnis: Eine Zahl ist nicht nur eine Stelle in der Zählreihe („nach der 7 kommt die 8“), sondern eine Anzahl, die aus kleineren Anzahlen zusammengesetzt ist.

In einem Positionspapier zu Schwierigkeiten beim Mathematiklernen beschreiben Gaidoschik und Kolleginnen genau diesen Schritt als entscheidend: Zahlen müssen nicht nur als aufeinanderfolgende Positionen verstanden werden, sondern auch als Anzahlen, die sich in Teilanzahlen zerlegen lassen (Gaidoschik et al., 2021).

Grafik: Die Zahl 8 in allen Zerlegungen als Punktreihen – 7 und 1, 6 und 2, 5 und 3, 4 und 4. Von Zeile zu Zeile wandert ein Punkt von einem Teil zum anderen.

Warum ist das so wichtig für das Rechnen?

Weil aus jeder Zerlegung gleich mehrere Aufgaben werden. Wer weiß, dass 8 aus 5 und 3 besteht, kennt auch 5 + 3, 3 + 5, 8 − 3 und 8 − 5, ohne eine davon abzuzählen. Genau diese Beziehung zwischen Plus und Minus haben Ching und Nunes (2017) untersucht. Sie begleiteten 115 Kinder in Hongkong von der ersten in die zweite Klasse. Das Wissen über solche Teil-Ganzes-Beziehungen (etwa: wenn 5 + 3 = 8, dann ist 8 − 3 = 5) erklärte von allen untersuchten Faktoren den größten Anteil der Mathematikleistung, auch wenn Alter, Intelligenz, Arbeitsgedächtnis und Zählfähigkeit berücksichtigt wurden.

Schon 2010 hatten Jordan, Glutting und Ramineni gezeigt, dass ein kurzer Test zum Zahlverständnis zu Beginn der ersten Klasse die Mathematikleistung am Ende der ersten und der dritten Klasse vorhersagt, auch unabhängig von Sprache, räumlichem Denken und Gedächtnis.

Was hat Zahlzerlegung mit dem Zehnerübergang zu tun?

Sehr viel. Der Zehnerübergang ist die Stelle, an der zählende Kinder oft ins Stocken geraten. Bei 8 + 5 muss ein zählendes Kind fünf Schritte richtig mitzählen, und jeder Schritt ist eine Gelegenheit, sich zu verzählen. Ein Kind, das zerlegen kann, rechnet in zwei Schritten: Es zerlegt die 5 in 2 und 3, ergänzt die 8 mit der 2 zur 10 und rechnet dann 10 + 3.

Grafik: Zwei Wege zu 8 + 5. Oben zählend in fünf einzelnen Schritten von 9 bis 13. Unten mit Zerlegung: 5 wird zu 2 und 3, 8 und 2 ergeben 10, 10 und 3 ergeben 13.

Das Positionspapier von Gaidoschik et al. (2021) beschreibt diesen Zusammenhang deutlich: Teil-Ganzes-Beziehungen ermöglichen nicht-zählendes Rechnen schon im Zahlenraum bis 10 und bei Aufgaben über die Zehn. Sind die Zerlegungen bis 10 dagegen nicht automatisiert, bleibt Kindern oft nur das Zählen. Und dauerhaftes Zählen erschwert wiederum, dass sich Aufgaben im Gedächtnis festsetzen.

Dass sich das bis in größere Zahlen auswirkt, zeigt eine Studie mit 152 Erstklässlerinnen und Erstklässlern aus den USA und Taiwan: Wer Basisaufgaben flüssig beherrschte und häufig mit Zerlegung rechnete, löste auch zweistellige Additionen genauer (Vasilyeva, Laski & Shen, 2015).

Kann man Zahlzerlegung lernen, oder entwickelt sie sich von allein?

Man kann sie lernen, und es lohnt sich, sie gezielt zu üben. In einer experimentellen Studie brachte Cheng (2012) fünf- bis sechsjährigen Kindern bei, Additionsaufgaben mit Zerlegung zu lösen. Die Kinder zählten danach seltener. Ob sie effiziente Strategien nutzten, hing davon ab, wie systematisch sie die Teil-Ganzes-Beziehungen der Zahlen von 1 bis 10 kannten.

Björklund, Marton und Kullberg (2021) werteten 2.184 Beobachtungen von Vier- bis Siebenjährigen beim Lösen von Rechenaufgaben aus. Zu den Aspekten, die Kinder unterscheiden lernen müssen, um gut zu rechnen, gehört ausdrücklich das Teil-Ganzes-Verhältnis: Teile und Ganzes auseinanderhalten, Zahlen zerlegen, Tauschaufgaben erkennen und den Zusammenhang zwischen Plus und Minus sehen.

Wichtig ist eine Einschränkung: Das Auswendiglernen von Zerlegungen ist notwendig, aber nicht hinreichend (Gaidoschik et al., 2021). Kinder lösen sich nur dann vom Zählen, wenn sie verstehen, wie Zahlen und Aufgaben zusammenhängen. Eine Liste „8 = 5 + 3“ zu pauken, ohne die Mengen dahinter zu sehen, hilft wenig.

Was Sie tun können

Diese Übungen funktionieren ohne Bildschirm und dauern nur wenige Minuten:

  1. Zerlegen mit den Händen. Zeigen Sie 8 Finger: 5 an der einen Hand, 3 an der anderen. Fragen Sie: „Wie kann man 8 noch zeigen?“ (4 und 4, 6 und 2). Die Fünf an einer Hand hilft, ohne Zählen zu sehen.
  2. Schüttelbox. Legen Sie 8 Knöpfe in eine Dose mit Trennwand. Schütteln, öffnen, nachsehen: „Links 3, wie viele rechts?“ Erst schauen, später vorher sagen lassen.
  3. Versteckspiel. 7 Steine auf den Tisch, ein paar unter einen Becher. „4 sehe ich. Wie viele sind versteckt?“ So wird die Zerlegung zur Aufgabe mit einem fehlenden Teil.
  4. Systematisch aufschreiben. Alle Zerlegungen einer Zahl untereinander notieren: 8 = 1 + 7, 2 + 6, 3 + 5 … Fragen Sie: „Was fällt dir auf?“ Viele Kinder entdecken das Muster selbst.
  5. Zehnerfreunde. Ein Eierkarton mit 10 Mulden: „7 sind belegt, wie viele fehlen bis 10?“ Die Zerlegungen der 10 sind die wichtigsten für den Zehnerübergang.
  6. Nach dem Weg fragen, nicht nach dem Tempo. „Wie hast du das herausgefunden?“ ist hilfreicher als eine Stoppuhr.

Wenn ein Kind in der zweiten Klasse noch fast alle Aufgaben bis 10 abzählt, lohnt sich ein Gespräch mit der Lehrkraft. Dieser Beitrag ersetzt keine Diagnostik.

Warum uns das beschäftigt

Als wir uns von der Pflege der Mathematik zuwandten, stand schnell fest, wo wir anfangen: bei der Zahlzerlegung. Sie ist klein genug, um sie in Ruhe zu üben, und grundlegend genug, um später alles andere zu tragen. Wir arbeiten gerade an einer App, die genau hier ansetzt. Wie sie aussieht und warum, erzählen wir in den nächsten Beiträgen.

Häufige Fragen

Ab welchem Alter üben Kinder Zahlzerlegung? Erste Erfahrungen machen viele Kinder schon im Kindergarten, etwa beim Aufteilen von Dingen. Im Unterricht ist die Zerlegung der Zahlen bis 10 ein zentrales Thema der ersten Klasse.

Muss mein Kind alle Zerlegungen auswendig können? Langfristig sollten die Zerlegungen bis 10 schnell abrufbar sein. Der Weg dorthin führt aber über Verstehen: Mengen sehen, Muster entdecken, Beziehungen nutzen. Auswendiglernen ohne Verständnis hilft wenig (Gaidoschik et al., 2021).

Ist es schlimm, wenn mein Kind noch an den Fingern zählt? Zählen ist ein normaler und wichtiger Schritt. Problematisch wird es, wenn es über längere Zeit die einzige Strategie bleibt. Finger können aber auch beim Zerlegen helfen, etwa wenn die 8 als „eine ganze Hand und 3“ gesehen wird.

Welche Zerlegungen sind besonders wichtig? Die Zerlegungen der 10, weil sie den Zehnerübergang tragen, und die Zerlegungen mit der 5, weil sie Mengen bis 10 überschaubar machen.

Quellen

  • Björklund, C., Marton, F. & Kullberg, A. (2021). What is to be learnt? Critical aspects of elementary arithmetic skills. Educational Studies in Mathematics, 107(2), 261–284. https://doi.org/10.1007/s10649-021-10045-0
  • Cheng, Z.-J. (2012). Teaching young children decomposition strategies to solve addition problems: An experimental study. The Journal of Mathematical Behavior, 31(1), 29–47. https://doi.org/10.1016/j.jmathb.2011.09.002
  • Ching, B. H.-H. & Nunes, T. (2017). The importance of additive reasoning in children’s mathematical achievement: A longitudinal study. Journal of Educational Psychology, 109(4), 477–508. https://doi.org/10.1037/edu0000154
  • Gaidoschik, M., Moser Opitz, E., Nührenbörger, M. & Rathgeb-Schnierer, E. (2021). Besondere Schwierigkeiten beim Mathematiklernen. Mitteilungen der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik, 47(111S). https://ojs.didaktik-der-mathematik.de/index.php/mgdm/article/download/1042/1156
  • Jordan, N. C., Glutting, J. & Ramineni, C. (2010). The importance of number sense to mathematics achievement in first and third grades. Learning and Individual Differences, 20(2), 82–88. https://doi.org/10.1016/j.lindif.2009.07.004
  • Vasilyeva, M., Laski, E. V. & Shen, C. (2015). Computational fluency and strategy choice predict individual and cross-national differences in complex arithmetic. Developmental Psychology, 51(10), 1489–1500. https://doi.org/10.1037/dev0000045

Lernwunder-Redaktion · Chaolan Lu

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