Kurz gesagt: Im Stellenwertsystem bedeutet eine Ziffer je nach Platz etwas anderes: Die 3 in 34 steht für drei Zehner, also dreißig. Viele Kinder können Zehner und Einer benennen, ohne das zu verstehen. In einer Interviewstudie zeigte keines von 15 Zweitklässlern sicher, was die Zehnerziffer bedeutet (Ross, 1986). Verständnis entsteht, wenn Kinder selbst zehn Dinge zu einem Bündel zusammenfassen und Bündel auch wieder auflösen, nicht schon dadurch, dass Material auf dem Tisch liegt.

Eine erfundene, aber typische Szene: Ein Kind in Klasse 2 zählt 26 Stäbchen ab, schreibt „26“ und sagt stolz: „Die 2 ist der Zehner, die 6 der Einer.“ Dann die Frage: „Zeig mir mit den Stäbchen, was die 2 bedeutet.“ Das Kind schiebt zwei Stäbchen zur Seite. Es hat die Wörter gelernt, aber nicht, wofür sie stehen.

Was bedeutet Stellenwertsystem eigentlich?

Unser Zahlsystem hat zwei Grundideen. Erstens wird gebündelt: Zehn Einer werden zu einem Zehner, zehn Zehner zu einem Hunderter. Zweitens entscheidet der Platz einer Ziffer über ihren Wert: In 34 steht die 3 für drei Zehner, in 43 für drei Einer. Dazu kommt die Null als Platzhalter, ohne die 305 und 35 nicht zu unterscheiden wären.

Für Erwachsene ist das so selbstverständlich, dass man die Hürde leicht übersieht. Ein Zehner ist nämlich zweierlei zugleich: ein Ding und zehn Dinge. Diese doppelte Sicht müssen Kinder sich erarbeiten.

Reicht es nicht, Zehner und Einer zu benennen?

Nein, und das ist einer der robustesten Befunde zum Thema. Die Forscherin Sharon Ross befragte 60 Kinder aus den Klassen 2 bis 5, je 15 pro Jahrgang, einzeln zu Aufgaben wie der mit den Stäbchen. In sechs Aufgaben sollten die Kinder zeigen, wie viele Gegenstände jede Ziffer einer zweistelligen Zahl bedeutet. Alle sechs lösten sieben Kinder aus Klasse 5, sieben aus Klasse 4, zwei aus Klasse 3 und keines aus Klasse 2. 28 der 60 Kinder zeigten überhaupt kein überzeugendes Verständnis der Zehnerziffer (Ross, 1986).

Grafik: Was bedeutet die 2 in 26? Links 26 Stäbchen, zwei mögliche Antworten: zwei einzelne Stäbchen (Ziffer als Anzahl gelesen) oder zwei Zehnerbündel, also zwanzig Stäbchen. Rechts ein Balkendiagramm: Kinder, die alle sechs Aufgaben dieser Art lösten, je 15 Kinder pro Klasse. Klasse 2: 0, Klasse 3: 2, Klasse 4: 7, Klasse 5: 7. Quelle: Ross 1986.

Wichtig war, was die erfolgreichen Kinder gemeinsam hatten. Sie konnten in Zehnerschritten zählen, eine Menge in einen Zehnerteil und einen Einerteil aufteilen und erkannten, dass eine gebündelte Menge gleich groß bleibt, egal wie man sie anordnet. Die Stellen nur benennen zu können, reichte nicht (Ross, 1986). Aus diesen Interviews entwickelte Ross ein Modell mit fünf Stufen, wie Kinder zweistellige Zahlen deuten, und leitete daraus Hinweise für den Unterricht ab (Ross, 1989).

Wie entwickelt sich das Verständnis?

Eine große Übersichtsarbeit aus vier Forschungsprojekten beschreibt, wie Kinder zweistellige Zahlen nach und nach denken (Fuson et al., 1997). Am Anfang steht 34 für 34 Einzelne. Später hören Kinder „dreißig und vier“, dann zählen sie in Zehnerschritten „zehn, zwanzig, dreißig“ und dann einzeln weiter. Erst danach sehen sie „drei Zehner und vier Einer“ als getrennte Einheiten und können zwischen allen Sichtweisen wechseln.

Diese Entwicklung beginnt früh. In einer Studie mit 207 Kindern zwischen drei und sieben Jahren zeigten schon Dreijährige erste Ansätze, etwa beim Vergleichen zweier mehrstelliger Zahlen. Mit gezieltem Üben machten die Kinder deutliche Fortschritte (Mix et al., 2014). Kinder bringen also Vorwissen mit, auf das man aufbauen kann.

Und es lohnt sich. In einer Langzeitstudie sagte das Stellenwertverständnis in Klasse 1 bestimmte Aspekte der Additionsleistung in Klasse 3 verlässlich voraus (Moeller et al., 2011). Wer Zehner und Einer versteht, rechnet später sicherer mit größeren Zahlen.

Warum selbst bündeln und nicht gleich fertige Zehner?

Viele Klassen arbeiten mit Zehnerstangen, auf denen zehn Würfel fest verbunden sind. Das ist praktisch. Doch eine fertige Stange ist zunächst nur ein längeres Stück Material. Dass sie aus zehn Einern entstanden ist und wieder in zehn Einer zerfallen kann, sieht man ihr nicht an.

Studien, die Selbstbündeln direkt mit fertigem Material vergleichen, haben wir nicht gefunden. Zwei Befunde sprechen aber dafür, dass Material allein nicht reicht:

  • Material wirkt, aber nicht automatisch. Eine Metaanalyse über 55 Studien fand kleine bis mittlere Vorteile für Unterricht mit Material. Wie stark, hing deutlich davon ab, wie damit unterrichtet wurde (Carbonneau et al., 2013). Mehr dazu im Beitrag Handeln, Bild, Symbol.
  • Viel Material ist nicht gleich viel Verständnis. Laski und Kolleginnen (2016) untersuchten 150 Kinder aus Montessori-Schulen, in denen Zehner- und Hundertermaterial eine große Rolle spielt, und aus anderen Schulen. Ein Vorteil beim Darstellen von Zahlen mit Zehnern und Einern zeigte sich nur im Kindergarten, nicht mehr in Klasse 1. In Klasse 2 und 3 gab es keine Unterschiede im Stellenwertverständnis.

Was dagegen hilft, ist Nachdenken und Sprechen über die Bedeutung. In einer Unterrichtsstudie lösten zunächst nur 18 % der Kinder aus den Klassen 3 bis 5 eine solche Ziffernaufgabe. Nach Unterricht, in dem sie in Gruppen Aufgaben zur Bedeutung der Ziffern bearbeiteten und ihre Sichtweisen austauschten, gelang es 71 % der zuvor erfolglosen Kinder (Ross & Sunflower, 1995).

Unsere Schlussfolgerung daraus: Das Bündeln sollte eine Handlung des Kindes sein, nicht ein Ergebnis, das es vorgesetzt bekommt. Wer zehn Stäbchen selbst mit einem Gummi zusammenbindet, erlebt, dass ein Bündel genau zehn Einer ist. Wer es wieder aufschnürt, erlebt, dass nichts verloren geht.

Grafik: Bündeln und Entbündeln. Dieselbe Zahl 34 dreimal gelegt: als drei Zehnerbündel und vier einzelne Stäbchen, als zwei Bündel und vierzehn einzelne, als vierunddreißig einzelne Stäbchen. Pfeile nach rechts mit „entbündeln“, nach links mit „bündeln“. Darunter: Es bleibt immer 34.

Warum ist Entbündeln genauso wichtig?

Weil Kinder es spätestens beim Rechnen brauchen. Bei 52 − 7 reichen die zwei Einer nicht. Man muss einen Zehner „aufmachen“ und hat dann 4 Zehner und 12 Einer. Wer nur gelernt hat, dass ein Zehner ein fester Block ist, steht hier vor einem Rätsel. Wer weiß, dass Bündeln und Entbündeln zwei Richtungen derselben Sache sind, hat ein Werkzeug.

Auch beim Zehnerübergang hilft dieses Denken. Bei 8 + 5 wird die Zehn voll, und drei bleiben übrig. Mehr dazu im Beitrag Rechnen über die Zehn.

Was Sie tun können

  1. Selbst bündeln. Geben Sie Ihrem Kind 30 bis 50 Strohhalme, Zahnstocher oder Nudeln und Gummibänder. „Wie viele sind das? Mach es dir leicht.“ Viele Kinder kommen von selbst darauf, Zehnerbündel zu machen. Wenn nicht, schlagen Sie es vor.
  2. Nach der Bedeutung fragen. Statt „Wo ist der Zehner?“ lieber: „Zeig mir, was die 3 in 34 bedeutet.“ Die Antwort verrät mehr als jedes Arbeitsblatt.
  3. Hin und zurück. Legen Sie 34 mit drei Bündeln und vier Einzelnen. Dann ein Bündel aufschnüren: „Wie viele sind es jetzt?“ Ziel ist die Einsicht, dass es immer noch 34 sind.
  4. Geld nutzen. Zehn 1-Cent-Münzen gegen ein 10-Cent-Stück tauschen, und zurück. Das ist Bündeln im Alltag.
  5. Zahlen mit Zehnern sprechen. Sagen Sie ab und zu „drei Zehner und vier Einer“ statt nur „vierunddreißig“. Das macht hörbar, was die Ziffern meinen.
  6. Leere Stellen zeigen. Legen Sie 30 und 3 nebeneinander. Was ist anders? Die Null zeigt: Hier sind keine Einer, aber der Platz bleibt.

Warum uns das beschäftigt

Der Stellenwert ist die vierte Station in unserem Lernweg, nach Mengen, Zerlegen und dem Rechnen über die Zehn. Wir arbeiten gerade an einer neuen App zu diesem Thema. Eine Entscheidung steht schon fest: Kinder sollen dort selbst zehn zu einem Bündel zusammenfassen, und jedes Bündel soll sich wieder auflösen lassen. Fertige Zehner bekommen sie nicht.

Häufige Fragen

In welcher Klasse lernen Kinder das Stellenwertsystem? Die Grundlagen mit Zehnern und Einern kommen meist am Ende von Klasse 1 und in Klasse 2, wenn der Zahlenraum bis 100 erweitert wird. Die Interviews von Ross (1986) zeigen aber, dass sich das Verständnis bis in Klasse 4 und 5 hinein entwickelt.

Sind Zehnerstangen schlecht? Nein. Sie sind ein gutes Werkzeug, sobald ein Kind verstanden hat, dass eine Stange zehn Einer ist. Davor lohnt sich das eigene Bündeln.

Mein Kind kann Zehner und Einer benennen. Versteht es das? Prüfen Sie es mit Material: Lassen Sie es zeigen, was jede Ziffer bedeutet. Schiebt es bei 26 zwei einzelne Dinge zur Seite, fehlt noch das Verständnis, auch wenn die Begriffe sitzen.

Quellen

  • Carbonneau, K. J., Marley, S. C. & Selig, J. P. (2013). A meta-analysis of the efficacy of teaching mathematics with concrete manipulatives. Journal of Educational Psychology, 105(2), 380–400. https://doi.org/10.1037/a0031084
  • Fuson, K. C., Wearne, D., Hiebert, J. C., Murray, H. G., Human, P. G., Olivier, A. I., Carpenter, T. P. & Fennema, E. (1997). Children’s conceptual structures for multidigit numbers and methods of multidigit addition and subtraction. Journal for Research in Mathematics Education, 28(2), 130–162. https://doi.org/10.5951/jresematheduc.28.2.0130
  • Laski, E. V., Vasilyeva, M. & Schiffman, J. (2016). Longitudinal comparison of Montessori versus non-Montessori students’ place-value and arithmetic knowledge. Journal of Montessori Research, 2(1). https://doi.org/10.17161/jomr.v2i1.5677
  • Mix, K. S., Prather, R. W., Smith, L. B. & Stockton, J. D. (2014). Young children’s interpretation of multidigit number names: From emerging competence to mastery. Child Development, 85(3), 1306–1319. https://doi.org/10.1111/cdev.12197
  • Moeller, K., Pixner, S., Zuber, J., Kaufmann, L. & Nuerk, H.-C. (2011). Early place-value understanding as a precursor for later arithmetic performance: A longitudinal study on numerical development. Research in Developmental Disabilities, 32(5), 1837–1851. https://doi.org/10.1016/j.ridd.2011.03.012
  • Ross, S. H. (1986). The development of children’s place-value numeration concepts in grades two through five. ERIC ED273482. https://eric.ed.gov/?id=ED273482
  • Ross, S. H. (1989). Parts, wholes, and place value: A developmental view. Arithmetic Teacher, 36(6), 47–51. https://doi.org/10.5951/AT.36.6.0047
  • Ross, S. & Sunflower, E. (1995). Place-value: Problem-solving and written assessment using digit-correspondence tasks. ERIC ED389624. https://eric.ed.gov/?id=ED389624

Lernwunder-Redaktion · Chaolan Lu

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