Handeln, Bild, Symbol: Wie Kinder Mathe begreifen

Kurz gesagt: Das EIS-Prinzip beschreibt drei Wege, Mathematik darzustellen: durch Handeln (enaktiv), durch Bilder (ikonisch) und durch Zeichen (symbolisch). Kinder lernen am besten, wenn sie zwischen diesen Wegen hin- und herwechseln, nicht wenn sie eine Stufe nach der anderen „abhaken“. Material hilft nachweislich, aber nicht von selbst: Es wirkt, wenn es schlicht ist und Schritt für Schritt mit Bild und Zahl verbunden wird.

Eine erfundene, aber typische Szene: Lea hat acht Plättchen vor sich und schiebt fünf davon nach links. „Fünf und drei!“, ruft sie. Auf dem Arbeitsblatt daneben steht 8 = 5 + ☐. Lea starrt auf das Kästchen und weiß nicht, was sie eintragen soll. Mit den Händen kann sie es längst, mit den Zeichen noch nicht.

Genau um diese Lücke zwischen Tun und Zeichen geht es beim EIS-Prinzip.

Was bedeutet das EIS-Prinzip?

Der Psychologe Jerome Bruner unterschied drei Weisen, wie Menschen Erfahrungen in sich darstellen (Bruner, 1964):

• Enaktiv, durch Handeln: Wir wissen etwas „in den Muskeln“, wie beim Radfahren oder Knotenbinden.
• Ikonisch, durch Bilder: Wir stellen uns etwas als Bild oder räumliche Anordnung vor.
• Symbolisch, durch Zeichen: Wörter und Ziffern, die ihrem Gegenstand nicht ähneln. Die Ziffer 8 sieht nicht aus wie acht Dinge.

In der Grundschuldidaktik ist daraus das EIS-Prinzip geworden: Rechnen soll mit Material, Bildern und Zahlen erarbeitet werden. Ein Detail aus Bruners Text wird dabei oft übersehen. Die drei Weisen tauchen beim Kind zwar nacheinander auf, und jede baut auf der vorherigen auf. Aber alle drei bleiben das ganze Leben erhalten (Bruner, 1964). Es geht also nicht darum, das Handeln möglichst schnell hinter sich zu lassen, sondern die drei Ebenen miteinander zu verbinden.

Hilft Material wirklich beim Rechnenlernen?

Ja, im Mittel schon. Eine Metaanalyse fasste 55 Studien mit über 7.000 Lernenden vom Kindergarten bis zur Hochschule zusammen. Unterricht mit Material schnitt besser ab als Unterricht nur mit Zahlen und Zeichen, mit kleinen bis mittleren Effekten. Am deutlichsten war der Vorteil beim Behalten des Gelernten, kleiner beim Problemlösen und beim Übertragen auf neue Aufgaben. Und: Wie gut Material wirkte, hing stark davon ab, wie es im Unterricht eingesetzt wurde (Carbonneau, Marley & Selig, 2013).

Warum reicht Material allein nicht?

Weil ein Plättchen zwei Dinge gleichzeitig ist: ein Gegenstand zum Spielen und ein Zeichen für „eins“. Kinder müssen lernen, es als Zeichen zu sehen. Forschende nennen das die doppelte Darstellung. Je spannender ein Gegenstand selbst ist, desto schwerer fällt das. Dazu kommt, dass auffälliges Material zum Spielen statt zum Nachdenken einladen kann. Deshalb empfehlen McNeil und Jarvin (2007), sehr vertrautes oder optisch reizvolles Material sparsam einzusetzen.

Für den Alltag heißt das: Schlichte Wendeplättchen oder Steckwürfel sind oft besser als Glitzerfiguren. Und das Material muss ausdrücklich mit dem Bild und der Zahl verbunden werden. Von allein springt das Kind nicht von den Plättchen zur Gleichung.

Was ist „Concreteness Fading“?

Concreteness Fading, auf Deutsch etwa „das Konkrete ausblenden“, beschreibt genau diesen Übergang. Man beginnt mit konkretem Material und blendet es dann ausdrücklich und schrittweise zugunsten abstrakter Darstellungen aus (Fyfe, McNeil, Son & Goldstone, 2014). Die Autorinnen und Autoren nennen vier Vorteile:

1. Kinder können unklare Zeichen über bekannte Gegenstände deuten.
2. Körperliche Erfahrung gibt dem abstrakten Denken einen Boden.
3. Es entstehen einprägsame Bilder, auf die man zurückgreifen kann, wenn Zeichen ihre Bedeutung verlieren.
4. Kinder lernen, unwichtige Merkmale wegzulassen und das Allgemeine zu sehen.

Für die Zahl 8 kann das so aussehen: erst acht echte Plättchen, dann ein Punktbild mit fünf und drei Punkten, dann nur noch die Zahlen.

Zählt Wischen auf dem Tablet als Handeln?

Teilweise. Digitales Material, also Plättchen, Zehnerstangen oder Bruchstreifen auf dem Bildschirm, wurde gut erforscht. Eine Auswertung von 46 Studien mit 104 Effektstärken fand insgesamt mittlere Effekte gegenüber anderen Unterrichtsformen. Als hilfreiche Eigenschaften nennen die Autorinnen unter anderem, dass digitale Darstellungen gleichzeitig verknüpft werden können (etwa Plättchen und Zahl, die sich zusammen verändern), dass sie präzise sind und die Aufmerksamkeit auf das Wesentliche lenken (Moyer-Packenham & Westenskow, 2016).

Unsere eigene Einschätzung: Ein Finger, der ein Bild über den Bildschirm zieht, ist nicht dasselbe wie eine Hand, die Würfel greift, zählt und umstapelt. Digitales Material ist am stärksten beim Verknüpfen von Bild und Zahl. Das echte Handeln ersetzt es nicht.

Was Sie tun können

1. Mit echten Dingen beginnen. Acht Knöpfe, Nudeln oder Plättchen auf den Tisch. „Mach zwei Haufen daraus.“
2. Schlicht bleiben. Gleichförmiges Material lenkt weniger ab als Lieblingsfiguren.
3. Zeichnen lassen. „Mal auf, was du gelegt hast.“ Punkte reichen, am besten in Fünferreihen (warum, steht im Beitrag zur Kraft der Fünf).
4. Die Zahl dazuschreiben. Erst neben das Bild, dann allein. So blendet sich das Konkrete Schritt für Schritt aus.
5. Rückwärts fragen. „Hier steht 8 = 6 + 2. Kannst du das legen?“ Wer vom Symbol zurück zum Material findet, hat es verstanden.
6. Wieder zurückgehen dürfen. Wird es schwierig, ist der Griff zum Material kein Rückschritt, sondern Bruners Prinzip in Aktion.

Wie wir es in Zahlzerlegung gelöst haben

In unserer App Zahlzerlegung trägt jede Zahltaste zwei Darstellungen zugleich: die Ziffer und ein Mengenbild, wahlweise als Würfelbild, Finger, Striche oder Punkte. Das Kind zieht die passende Zahl in die Lücke der Zerlegung. Bild und Symbol erscheinen so immer gemeinsam, und welches Mengenbild hilft, kann man umstellen. Warum wir mehrere Mengenbilder anbieten, haben wir in einem eigenen Beitrag erklärt.

Was die App nicht leistet, sagen wir ebenso deutlich: Die enaktive Ebene, das Greifen und Umlegen echter Dinge, kann sie nicht ersetzen. Und sie blendet das Mengenbild nicht automatisch aus. Wir sehen Zahlzerlegung deshalb als Brücke zwischen Bild und Zahl, die am besten neben echten Plättchen auf dem Tisch funktioniert. Wie das Zerlegen selbst funktioniert, steht im Beitrag zur Zahlzerlegung.

Häufige Fragen

Muss mein Kind immer erst mit Material arbeiten? Bei neuen Inhalten ist das ein guter Start. Wichtiger als die Reihenfolge ist aber, dass die Ebenen verbunden werden (Fyfe et al., 2014).

Ist Rechnen mit den Fingern dann gut? Finger sind Material, das man immer dabeihat. Problematisch wird es erst, wenn ein Kind auch nach langer Zeit nur zählt. Mehr dazu im Beitrag zum zählenden Rechnen.

Sind Lern-Apps schlechter als echtes Material? Nicht pauschal. Digitales Material zeigt im Mittel mittlere Effekte (Moyer-Packenham & Westenskow, 2016). Echte Dinge in der Hand ersetzt es aber nicht.

Ab wann braucht ein Kind kein Material mehr? Dafür gibt es kein festes Alter. Nach Bruner (1964) bleiben alle drei Darstellungsweisen erhalten, auch Erwachsene greifen bei Neuem gern zu Skizzen oder Gegenständen.

Quellen

• Bruner, J. S. (1964). The course of cognitive growth. American Psychologist, 19(1), 1–15. https://doi.org/10.1037/h0044160
• Carbonneau, K. J., Marley, S. C. & Selig, J. P. (2013). A meta-analysis of the efficacy of teaching mathematics with concrete manipulatives. Journal of Educational Psychology, 105(2), 380–400. https://doi.org/10.1037/a0031084
• Fyfe, E. R., McNeil, N. M., Son, J. Y. & Goldstone, R. L. (2014). Concreteness fading in mathematics and science instruction: A systematic review. Educational Psychology Review, 26(1), 9–25. https://doi.org/10.1007/s10648-014-9249-3
• McNeil, N. M. & Jarvin, L. (2007). When theories don’t add up: Disentangling the manipulatives debate. Theory Into Practice, 46(4), 309–316. https://doi.org/10.1080/00405840701593899
• Moyer-Packenham, P. S. & Westenskow, A. (2016). Revisiting the effects and affordances of virtual manipulatives for mathematics learning. In Utilizing Virtual and Personal Learning Environments for Optimal Learning (S. 186–215). IGI Global. https://doi.org/10.4018/978-1-4666-8847-6.ch009

Lernwunder-Redaktion · Chaolan Lu