Rechnen über die Zehn: die häufigste Hürde in Klasse 1

Kurz gesagt: Beim Zehnerübergang geht das Ergebnis über die Zehn hinaus, etwa bei 8 + 5. Zehn Finger reichen dann nicht mehr, und Kinder, die noch zählen, müssen Schritte im Kopf mitzählen. Das ist mühsam und fehleranfällig. In einer österreichischen Studie rechneten Kinder am Ende von Klasse 1 gut die Hälfte dieser Aufgaben noch zählend (Gaidoschik & Fellmann, 2015). Was hilft, ist kein schnelleres Zählen, sondern sicheres Wissen rund um die Zehn.

Eine erfundene, aber typische Szene am Küchentisch: Auf dem Arbeitsblatt steht 7 + 6. Das Kind streckt sieben Finger aus, dann wird es still. Für die Sechs fehlen Finger. Es nickt mit dem Kopf, flüstert „acht, neun, zehn …“, verliert den Faden und schreibt 12. Die nächste Aufgabe, 10 + 3, löst es sofort. Zwischen diesen beiden Aufgaben liegt die Hürde, um die es in diesem Beitrag geht.

Was ist der Zehnerübergang?

Zehnerübergang heißt: Eine Rechnung überschreitet die Zehn. Bei Plus- aufgaben wie 8 + 5 oder 7 + 6 liegt das Ergebnis über zehn, bei Minus- aufgaben wie 13 − 5 muss man unter die Zehn zurück. In vielen Schulen kommen diese Aufgaben im letzten Drittel des ersten Schuljahres dran (Gaidoschik & Fellmann, 2015, mit Bezug auf ein verbreitetes Handbuch zur Förderung).

Fachlich ist das nur ein kleiner Schritt nach dem Zahlenraum bis 10. Für Kinder ist es oft der erste, an dem ein bewährter Weg nicht mehr trägt.

Warum ist gerade diese Stelle so schwer?

Weil hier mehrere Dinge zusammenkommen.

Die Finger reichen nicht mehr. Bis zehn kann ein Kind jede Aufgabe an den Händen abbilden. Bei 8 + 5 geht das nicht. Wer zählt, muss nun zwei Dinge gleichzeitig verfolgen: die Zahlenreihe (9, 10, 11, 12, 13) und wie viele Schritte schon gemacht sind (1, 2, 3, 4, 5).

Es braucht mehrere Teilschritte. Ohne Zählen rechnet man 8 + 5 zum Beispiel als 8 + 2 = 10 und dann 10 + 3 = 13. Dafür muss ein Kind wissen, dass 8 und 2 zusammen 10 sind, dass sich 5 in 2 und 3 zerlegen lässt, und dass „zehn und drei“ dreizehn ist. Fehlt eines davon, bleibt nur das Zählen. Warum Zerlegungen dafür so wichtig sind, steht im Beitrag zur Zahlzerlegung.

Die deutschen Zahlwörter helfen nicht. „Dreizehn“ nennt die Drei vor der Zehn, geschrieben wird aber erst die Eins für den Zehner. Dass 13 „zehn und drei“ bedeutet, hört man dem Wort nicht an. In Sprachen wie Koreanisch heißen die Zahlen ab elf wörtlich „zehn eins“, „zehn zwei“ und so weiter. Bei koreanischen Erstklässlern stützten diese Zahlwörter zusammen mit Fingermethoden Rechenwege, die gezielt über die Zehn gehen (Fuson & Kwon, 1992).

Was ist die Zählfalle?

Zählen liefert oft richtige Ergebnisse. Genau das macht es tückisch. Ein Kind, das 8 + 5 sicher weiterzählt, scheint die Aufgabe zu können. Doch das Zählen bindet die ganze Aufmerksamkeit. Gaidoschik und Fellmann (2015) beschreiben das so: Wer zählend rechnet, nimmt den Zusammenhang zwischen Aufgabe und Ergebnis oft gar nicht wahr, etwa dass 8 + 5 nur eins mehr ist als 8 + 4. Selbst wenn ein Kind dieselbe Aufgabe oft richtig löst, prägt sie sich dadurch nicht unbedingt ein. Eher wird das Zählen zur Gewohnheit.

Dazu kommen typische Zählfehler. Wer bei 8 + 5 die Acht mitzählt („acht, neun, zehn, elf, zwölf“), landet bei 12. Wer beim Mitzählen der Schritte den Überblick verliert und einen Sprung zu viel macht, landet bei 14. Ergebnisse, die um genau eins danebenliegen, sind deshalb ein deutliches Zeichen dafür, dass ein Kind zählt.

Was sagt die Forschung?

Am Zehnerübergang wird am meisten gezählt. In einer Längsschnittstudie mit Kindern aus 22 Klassen rechneten die Kinder am Ende von Klasse 1 rund 39 % der Aufgaben im Zahlenraum bis 10 zählend, bei Aufgaben mit Zehnerübergang 52 %. In diesen Klassen waren Ableitungs- strategien nicht gezielt erarbeitet worden (Gaidoschik & Fellmann, 2015, Daten aus Gaidoschik, 2010).

Es geht auch anders. In einer kleinen Folgestudie mit 71 Kindern aus vier Kärntner Klassen arbeiteten die Lehrkräfte von Anfang an an Zerlegungen, an wenigen fest gewussten Kernaufgaben und am Ableiten. Am Ende von Klasse 1 zählten die Kinder in zwei Klassen bei den Aufgaben mit Zehnerübergang gar nicht mehr, in den anderen beiden bei 11 % und 22 % der Aufgaben (Gaidoschik & Fellmann, 2015). Die Studie ist klein, und die Klassen waren nicht zufällig verteilt. Sie zeigt aber, dass hohe Zählanteile kein Naturgesetz sind.

Wer langsamer startet, braucht mehr Zeit. Torbeyns, Verschaffel und Ghesquière (2004) verglichen bei Aufgaben mit Zehnerübergang starke und schwächere Zweitklässler sowie Drittklässler, die so gut rechneten wie die starken Zweitklässler. Die schwächeren Zweitklässler gingen mit ihren Strategien anders um als die starken. Zwischen den starken Zweitklässlern und den gleich starken Drittklässlern gab es dagegen keine Unterschiede. Die Forschenden deuten das als Verzögerung der Strategieentwicklung. Für uns heißt das: Der Weg ist vermutlich derselbe, er braucht nur mehr Zeit und Unterstützung.

Zählen kann lange bleiben. In einer Studie mit 200 Siebtklässlern lösten 35 % einfache Additionen noch überwiegend durch Weiterzählen von der größeren Zahl aus, weitere 16 % machten dabei häufig Fehler. Wer viel zählte, hatte im Schnitt schwächere Mathematikleistungen (Hopkins & Bayliss, 2017).

Die Zehn als Einheit wächst. Murata (2004) begleitete japanische Erstklässler ein Schuljahr lang. Die Kinder kamen mit sehr unterschiedlichem Vorwissen und gingen verschiedene Wege. Nach und nach nutzten sie das in Japan übliche Verfahren, eine Zahl so zu zerlegen, dass die Zehn voll wird. Zählen und das Sehen von Gruppen halfen ihnen auf dem Weg dorthin. Nicht-zählendes Rechnen über die Zehn entsteht also schrittweise, und Struktur hilft dabei.

Ist Fingerrechnen dann verboten?

Nein. Finger sind am Anfang ein wichtiges Werkzeug, und viele Kinder brauchen sie eine Zeit lang. Entscheidend ist, wofür sie genutzt werden: fünf Finger auf einmal zeigen und eine Hand als Fünf sehen ist etwas anderes als jeden Finger einzeln abzuzählen. Wann Fingerzählen hilft und wann es zum Problem wird, steht im Beitrag über zählendes Rechnen.

Was Sie tun können

1. Zehnerfreunde sichern. 1 und 9, 2 und 8, 3 und 7 … Wer diese Paare ohne Nachdenken weiß, hat den wichtigsten Baustein. Ideen dazu im Beitrag zu den Partnerzahlen bis 10.
2. „Zehn und …“ sichtbar machen. Legen Sie einen vollen Eierkarton mit zehn Mulden hin und daneben drei Knöpfe. „Wie viele sind es?“ Ziel ist ein sofortiges „dreizehn“, ohne zu zählen. Sagen Sie dazu: „Zehn und drei sind dreizehn.“
3. Fünfer sehen statt zählen. Zwei Fünferreihen untereinander machen jede Zahl bis zehn auf einen Blick erkennbar. Mehr dazu in Kraft der Fünf.
4. Nach dem Weg fragen. „Wie hast du das gerechnet?“ lohnt sich mehr als „Stimmt das?“. Loben Sie einen klugen Weg, nicht das Tempo.
5. Auf Zählzeichen achten. Lange Pausen bei 8 + 7, aber nicht bei 8 + 2, leises Murmeln, Kopfnicken, Ergebnisse um genau eins daneben. Das ist kein Grund zur Sorge, aber ein Hinweis, wo Ihr Kind gerade steht.
6. Bei anhaltendem Zählen Rat holen. Zählt ein Kind bis weit in Klasse 2 hinein fast jede Aufgabe ab, sprechen Sie mit der Lehrkraft. Woran man Rechenschwierigkeiten erkennt, steht im Beitrag Rechenschwierigkeiten erkennen.

Warum uns das beschäftigt

In unserem Lernweg ist das Rechnen über die Zehn die dritte Station, nach dem Erfassen von Mengen und dem Zerlegen. Sie ist die Stelle, an der sich zeigt, ob die Grundlagen tragen. Wir arbeiten gerade an einer neuen App für genau diese Hürde. Was wir dabei aus der Forschung mitnehmen, erzählen wir, sobald die Idee Gestalt annimmt.

Häufige Fragen

Mein Kind rechnet 8 + 5 richtig, aber langsam. Ist das ein Problem? Nicht unbedingt. Fragen Sie, wie es gerechnet hat. Zählt es jedes Mal weiter, lohnt es sich, an Zehnerfreunden und Zerlegungen zu arbeiten. Rechnet es über die Zehn und braucht nur Zeit, kommt das Tempo mit der Übung.

Sollte mein Kind den Zehnerübergang auswendig lernen? Am Ende sollen viele Aufgaben schnell abrufbar sein. Der Weg dorthin führt aber über Verstehen und Ableiten. Die Daten von Gaidoschik und Fellmann (2015) sprechen dafür, das Ableiten früh und gezielt zu üben.

Ab wann ist anhaltendes Zählen ein Warnzeichen? Am Anfang von Klasse 1 zählen viele Kinder. Ein Hinweis ist, wenn ein Kind im zweiten Schuljahr noch fast alle Aufgaben bis 20 zählend löst. Eine Diagnose kann ein Blogbeitrag nicht ersetzen. Sprechen Sie dann mit der Lehrkraft.

Gilt das auch für Minusaufgaben? Ja. Bei 13 − 5 ist Rückwärtszählen noch fehleranfälliger als Vorwärtszählen. Auch hier hilft der Weg über die Zehn: erst 13 − 3 = 10, dann noch 2 weg.

Quellen

• Fuson, K. C. & Kwon, Y. (1992). Korean children’s single-digit addition and subtraction: Numbers structured by ten. Journal for Research in Mathematics Education, 23(2), 148–165. https://doi.org/10.5951/jresematheduc.23.2.0148
• Gaidoschik, M. & Fellmann, A. (2015). Zählendes Rechnen im 1. Schuljahr: (Vermutlich) weder notwendig noch förderlich. In F. Caluori, H. Linneweber-Lammerskitten & C. Streit (Hrsg.), Beiträge zum Mathematikunterricht 2015 (S. 296–299). WTM. https://doi.org/10.17877/DE290R-16634
• Hopkins, S. & Bayliss, D. (2017). The prevalence and disadvantage of min-counting in seventh grade: Problems with confidence as well as accuracy? Mathematical Thinking and Learning, 19(1), 19–32. https://doi.org/10.1080/10986065.2017.1258613
• Murata, A. (2004). Paths to learning ten-structured understandings of teen sums: Addition solution methods of Japanese Grade 1 students. Cognition and Instruction, 22(2), 185–218. https://doi.org/10.1207/s1532690xci2202_2
• Torbeyns, J., Verschaffel, L. & Ghesquière, P. (2004). Strategic aspects of simple addition and subtraction: The influence of mathematical ability. Learning and Instruction, 14(2), 177–195. https://doi.org/10.1016/j.learninstruc.2004.01.003

Lernwunder-Redaktion · Chaolan Lu