Kurz gesagt: Kernaufgaben sind die Malaufgaben mit 1, 2, 5 und 10. Sie sind für Kinder nachweislich am leichtesten, und sie decken schon 64 der 100 Aufgaben des kleinen Einmaleins ab. Wer zusätzlich Tauschaufgaben nutzt, muss nur noch 21 Aufgaben auf eigenem Weg erschließen, und zwar aus den Kernaufgaben heraus. In Studien rechneten Kinder, die so lernten, am Ende fast nur noch durch Abruf oder schnelles Ableiten, kaum noch durch Zählen.
Eine ausgedachte, aber vertraute Szene: Ihr Kind soll 6 · 8 rechnen. Es überlegt, flüstert „8, 16, 24 …“ und zählt die Schritte an den Fingern ab. Nach einer halben Minute steht 48 auf dem Blatt. Das Ergebnis stimmt. Aber das Kind hat die halbe Achterreihe gebraucht, um eine einzige Aufgabe zu lösen.
Ein anderes Kind sagt: „5 · 8 ist 40. Noch eine Acht dazu, 48.“ Es hat die Aufgabe nicht auswendig gewusst. Es hat sie abgeleitet, aus einer Aufgabe, die es sicher kennt. Genau darum geht es bei den Kernaufgaben.
Im Beitrag über das Einmaleins haben wir die Kernaufgaben kurz vorgestellt. Hier schauen wir genauer hin: Wie viel tragen sie wirklich, was sagt die Forschung, und wo geht das Ableiten schief?
Was sind Kernaufgaben im Einmaleins?
Kernaufgaben sind die Malaufgaben, die sich besonders leicht merken oder herleiten lassen: alle Aufgaben mit 1, 2, 5 oder 10 als Faktor. Mal 1 ändert nichts, mal 2 ist Verdoppeln, mal 10 hängt eine Null an, mal 5 ist die Hälfte von mal 10. Oft zählen auch die Quadrataufgaben wie 3 · 3 oder 4 · 4 dazu, weil Kinder sie sich gut merken.
Wie weit diese vier Reihen tragen, zeigt eine einfache Rechnung an der Einmaleinstafel mit ihren 100 Aufgaben:
- 64 Aufgaben enthalten mindestens einmal 1, 2, 5 oder 10.
- Übrig bleiben 36 Aufgaben. Sechs davon sind Quadrataufgaben (3 · 3 bis 9 · 9).
- Die anderen 30 bilden 15 Tauschpaare: Wer 7 · 8 kennt, kennt auch 8 · 7.
Am Ende bleiben 21 Aufgaben, die einen eigenen Weg brauchen. Und für jede davon liegt eine Kernaufgabe direkt daneben.
Sind die Kernaufgaben wirklich leichter?
Ja, das zeigen große Datensätze. Eine niederländische Studie hat ausgewertet, wie schwer einzelne Malaufgaben für Kinder sind, die in einem adaptiven Online-Übungsprogramm rechneten. In die Klassenanalyse gingen die Daten von rund 26.750 Kindern ein, jede Aufgabe wurde zehntausendfach gelöst. Ergebnis: Aufgaben mit 1, 2 und 5 waren deutlich leichter als andere, Quadrataufgaben ebenfalls. Je größer die Zahlen, desto schwerer die Aufgabe, und der Vorteil der Kernaufgaben wurde gerade bei größeren Zahlen stärker. Mehrstellige Aufgaben mit 10 oder 100, etwa 100 · 25, waren sogar leichter als die meisten einstelligen (van der Ven et al., 2015).
Kernaufgaben sind also nicht nur eine didaktische Idee. Sie sind die Aufgaben, die Kinder ohnehin zuerst sicher beherrschen. Es liegt nahe, von dort aus weiterzugehen.
Was zeigt die Forschung zum Ableiten?
Kinder nutzen beim Einmaleins lange mehrere Lösungswege nebeneinander. Eine Längsschnittstudie mit französischen Zweitklässlern maß dreimal im Schuljahr, wie die Kinder rechneten. Zu allen drei Zeitpunkten nutzten sie verschiedene Strategien, riefen bei denselben Aufgabentypen am ehesten aus dem Gedächtnis ab und griffen bei den schwersten Aufgaben auf wiederholtes Addieren zurück (Lemaire & Siegler, 1995). Die Frage ist also nicht, ob ein Kind Umwege geht, sondern welche.
In Österreich wurde untersucht, was passiert, wenn der Unterricht das Ableiten in den Mittelpunkt stellt. 48 Kinder aus acht Klassen wurden über zwei Schuljahre mehrfach interviewt. Am Ende der dritten Klasse lösten die meisten Kinder die Aufgaben entweder durch Abruf oder durch schnelles Ableiten, und fast niemand griff noch auf Zählen oder wiederholtes Addieren zurück. Auch die schwächeren Kinder konnten erklären, was eine Malaufgabe bedeutet, und kannten Ableitungswege. Wo es hakte, lag es oft an der Logik einzelner Schritte (Gaidoschik, Deweis & Guggenbichler, 2017). Dazu gleich mehr.
Eine kleinere Studie in den Klassen 3 bis 5 verglich über fünf Wochen, täglich 10 bis 15 Minuten, zwei Wege zum flüssigen Einmaleins: Strategien mit Bildern und Gesprächen gegen reines Drill-Üben. Die Kinder mit Strategien wurden flüssiger, und zwar gleichmäßiger als die Drill-Gruppe (Brendefur et al., 2015).
Warum ist das wichtig?
Weil das Ziel noch lange nicht überall erreicht wird. In Baden-Württemberg lösten 535 Kinder aus 39 Klassen einen Schnelltest mit Mal- und Geteiltaufgaben, am Ende der zweiten und am Ende der dritten Klasse. Am Ende der dritten Klasse erreichten nur 223 von ihnen (knapp 42 Prozent) das Lernziel, 145 lagen auf der niedrigsten Stufe. Die Autorinnen und Autoren schlagen vor, nicht mehr Reihe für Reihe vorzugehen, sondern zum Beispiel nur 6 · 8 zu geben und zu fragen, welche bekannten Aufgaben dabei helfen (Gleißberg, Eichler & Seibold, 2025).
Wie leitet man aus Kernaufgaben ab?
Vier Wege reichen für fast alle 21 schweren Aufgaben:
| Weg | Beispiel | Idee |
|---|---|---|
| Nachbaraufgabe | 6 · 7 = 5 · 7 + 7 | eine Reihe mehr als die Fünferaufgabe |
| Zehner minus | 9 · 4 = 10 · 4 − 4 | eine Reihe weniger als die Zehneraufgabe |
| Verdoppeln | 8 · 3 = 4 · 3 + 4 · 3 | das Doppelte einer leichteren Aufgabe |
| Zerlegen | 7 · 8 = 5 · 8 + 2 · 8 | 7 = 5 + 2, zwei Kernaufgaben zusammen |
Der letzte Weg beruht auf derselben Idee wie die Zahlzerlegung: Eine Zahl lässt sich in Teile zerlegen, mit denen man leichter rechnet. Und die Fünf als Anker kennen viele Kinder schon aus dem Rechnen mit der Kraft der Fünf.
Tauschaufgaben helfen zusätzlich. 7 · 9 ist mühsam, wenn man die 7 zerlegt. Als 9 · 7 = 10 · 7 − 7 ist es ein einziger Schritt (Gaidoschik et al., 2017).
Wo geht das Ableiten schief?
Die österreichische Studie zeigt einen typischen Denkfehler sehr genau. Gefragt, ob 5 · 8 bei 4 · 8 helfen kann, antworteten zwei Kinder: „Ja, man muss 4 wegnehmen.“ Richtig wäre: eine ganze Achterreihe wegnehmen, also 40 − 8 = 32. Ein Kind rechnete 6 · 4 als 5 · 4 + 5 (Gaidoschik et al., 2017).
Dahinter steckt kein Rechenfehler, sondern eine Lücke im Verständnis: Das Kind sieht 5 · 8 als Zahl, nicht als fünf Reihen zu je acht. Genau hier hilft das Bild. Wer ein Punktfeld mit fünf Achterreihen vor sich hat, sieht sofort, dass für 4 · 8 eine ganze Reihe verschwindet und nicht vier Punkte.
Ableiten ist deshalb kein Trick, den man auswendig lernt. Es braucht ein Bild von der Malaufgabe. Wie man dieses Bild aufbaut, ist Thema eines eigenen Beitrags.
Was Sie tun können
- Kernaufgaben zuerst sichern. Üben Sie mal 2, mal 10 und mal 5, bis sie wirklich sitzen. Die Fünferaufgaben als Hälfte der Zehner: „10 · 6 ist 60, die Hälfte ist 30, also ist 5 · 6 = 30.“
- Fragen statt sagen. Bei einer schweren Aufgabe nicht das Ergebnis nennen, sondern fragen: „Welche Aufgabe kennst du, die ganz in der Nähe liegt?“
- Den Weg aufschreiben lassen. 6 · 7 = 5 · 7 + 7 = 35 + 7 = 42. So sehen Sie, ob das Kind wirklich ableitet oder rät.
- Den Wegnehm-Fehler mit Bildern prüfen. Legen Sie 5 · 8 mit Münzen oder Steckwürfeln: fünf Reihen zu acht. Dann fragen: „Was musst du wegnehmen, damit es 4 · 8 wird?“
- Tauschaufgaben als Abkürzung zeigen. „7 · 9 oder 9 · 7, welche ist leichter?“ Kinder entdecken schnell, dass 10 · 7 − 7 einfacher ist.
- Erst dann Tempo. Kurze Abfragerunden helfen, sobald das Kind die Wege kennt. Ohne Druck und ohne Vergleich mit anderen.
Warum uns das beschäftigt
Wir arbeiten unter dem Arbeitstitel Droptiply an einem Spiel zum Einmaleins. Eine der Fragen, die wir uns dabei stellen: In welcher Reihenfolge sollen Aufgaben vorkommen, und was soll ein Kind sehen, wenn eine Aufgabe neu ist? Die Forschung oben legt nahe, mit den Kernaufgaben zu beginnen und schwere Aufgaben nicht als neue Fakten einzuführen, sondern als Weg von einer bekannten Aufgabe aus. Noch ist das ein Plan, fertig ist nichts.
Häufige Fragen
Mein Kind kann die Reihen aufsagen. Reicht das nicht? Reihen sind ein guter Anfang. Wer aber für 6 · 8 jedes Mal bei 8 beginnt, braucht lange und verzählt sich leicht. Ableiten aus 5 · 8 ist ein einziger Schritt.
Muss mein Kind am Ende trotzdem alles auswendig wissen? Ja. Ziel bleibt der sichere Abruf. Ableiten ist der Weg dorthin und das Sicherheitsnetz, wenn eine Aufgabe einmal nicht einfällt.
Welche Aufgaben sind am schwersten? Meist die mit großen Zahlen wie 7 · 8 oder 6 · 9 (van der Ven et al., 2015). Gerade dort lohnt sich ein fester Ableitungsweg.
Gehört 0 auch zu den Kernaufgaben? Die Null ist ein Sonderfall. Mal 0 ergibt immer 0. Das ist schnell gelernt, aber nicht leicht zu verstehen. Ein Bild hilft: null Reihen enthalten keine Punkte.
Quellen
- Brendefur, J. L., Strother, S., Thiede, K. W. & Appleton, S. (2015). Developing multiplication fact fluency. Advances in Social Sciences Research Journal, 2(8). https://doi.org/10.14738/assrj.28.1396
- Gaidoschik, M., Deweis, K. M. & Guggenbichler, S. (2017). Do lower-achieving children profit from derived facts-based teaching of basic multiplication? Findings from a design research study. In T. Dooley & G. Gueudet (Hrsg.), Proceedings of CERME10 (S. 346–353). https://hal.science/hal-01873475
- Gleißberg, S., Eichler, K.-P. & Seibold, M. (2025). Mastering the basic facts of multiplication and division till the end of grade 3 – selected results of a longitudinal study. Proceedings of CERME14, TWG02. https://hal.science/hal-05162091
- Lemaire, P. & Siegler, R. S. (1995). Four aspects of strategic change: Contributions to children’s learning of multiplication. Journal of Experimental Psychology: General, 124(1), 83–97. https://doi.org/10.1037/0096-3445.124.1.83
- van der Ven, S. H. G., Straatemeier, M., Jansen, B. R. J., Klinkenberg, S. & van der Maas, H. L. J. (2015). Learning multiplication: An integrated analysis of the multiplication ability of primary school children and the difficulty of single digit and multidigit multiplication problems. Learning and Individual Differences, 43, 48–62. https://doi.org/10.1016/j.lindif.2015.08.013
Lernwunder-Redaktion · Chaolan Lu