Mehr, weniger, gleich viel: Warum Vergleichen vor dem Rechnen kommt

Kurz gesagt: Bevor Kinder rechnen, müssen sie beurteilen können, wo mehr ist, wo weniger und wann es gleich viel ist. Eine Metaanalyse über 17.201 Teilnehmende zeigt: Wer Mengen und Zahlen gut vergleicht, rechnet im Schnitt besser, beim Vergleichen von Ziffern ist der Zusammenhang etwas stärker als bei Punktmengen. Die Grundlage für „gleich viel“ ist die Eins-zu-eins-Zuordnung, und sie lässt sich mit Alltagsdingen gut üben.

Eine erfundene, aber vertraute Szene: Zwei Geschwister teilen Gummibärchen. „Du hast mehr!“ – „Gar nicht!“ Die Ältere legt die Bärchen in zwei Reihen nebeneinander, immer eins gegenüber eins. Am Ende bleibt bei ihr eins übrig. Ohne zu zählen ist klar: Sie hat eins mehr. In diesem kleinen Streit steckt eine der wichtigsten Grundlagen der Mathematik.

Was heißt eigentlich „Mengen vergleichen“?

Mengen vergleichen heißt, zwei Mengen daraufhin zu beurteilen, ob die eine mehr, weniger oder gleich viele Dinge enthält als die andere. Die Forschung unterscheidet dabei zwei Arten:

• Nicht-symbolisch: Kinder vergleichen Mengen direkt, etwa zwei Häufchen Murmeln oder zwei Punktbilder.
• Symbolisch: Kinder vergleichen Zahlen, etwa „Was ist mehr, 7 oder 4?“, als Ziffer oder als Zahlwort.

Und dann gibt es die Eins-zu-eins-Zuordnung: Man bildet Paare, jedes Ding der einen Menge bekommt genau einen Partner aus der anderen. Bleibt nichts übrig, sind es gleich viele. Bleibt etwas übrig, hat diese Menge mehr. Das funktioniert, ohne eine einzige Zahl zu kennen.

Wie früh können Kinder Mengen vergleichen?

Früher, als man denkt, aber nicht vollständig. In einer Studie mit Kindern zwischen 32 und 36 Monaten, die noch keine Zahlwörter über vier sicher kannten, nutzten die Kinder Eins-zu-eins-Zuordnungen, um Mengen von fünf oder sechs Puppen genau nachzubilden. Das gelang aber nur, solange es dieselben Puppen blieben. Wurde eine Puppe dazugetan, weggenommen oder ausgetauscht, verloren sie den Überblick (Izard et al., 2014). Die Forschenden sprechen von einem teilweisen Verständnis exakter Zahlen, bevor Kinder Zahlwörter dafür haben.

Eine zweite Studie zeigt, wie eng Zählen und Gleichheit zusammenhängen. Bei den Zahlen fünf und sechs verstanden Kinder entweder beides oder keins von beidem: dass die zuletzt gezählte Zahl angibt, wie viele es sind, und dass zwei Mengen genau dann gleich viele sind, wenn sie sich zu Paaren ordnen lassen (Sarnecka & Wright, 2013). Für Eltern heißt das: Zählen üben und Paare bilden sind keine getrennten Übungen, sie stützen sich gegenseitig.

Warum ist „weniger“ schwerer als „mehr“?

Viele Kinder verstehen „mehr“ lange vor „weniger“. Eine klassische Untersuchung mit Kindern zwischen dreieinhalb und vier Jahren fand, dass nur ein einziges Kind „weniger“ zuverlässig richtig verstand. Die übrigen behandelten „weniger“ meist so, als hätte man „mehr“ gesagt (Donaldson & Balfour, 1968). Die Studie ist alt und klein, nur 15 Kinder. Sie erklärt aber eine Beobachtung, die viele Eltern kennen, und sie ist ein guter Grund, das Wort „weniger“ bewusst und oft zu benutzen.

Warum kommt Vergleichen vor dem Rechnen?

Weil Rechnen auf dem Wissen aufbaut, wie groß Zahlen sind. Wer nicht weiß, dass 7 mehr ist als 4, kann schwer einschätzen, ob 7 − 4 ein kleines oder ein großes Ergebnis hat.

Die Forschung stützt das mit belastbaren Zahlen. Eine Metaanalyse hat 45 Artikel mit 284 Effektgrößen und 17.201 Teilnehmenden ausgewertet (Schneider et al., 2017). Das Ergebnis:

• Die Fähigkeit, Mengen und Zahlen zu vergleichen, hängt in allen Altersgruppen verlässlich mit mathematischen Leistungen zusammen.
• Der Zusammenhang ist für Ziffernvergleiche etwas stärker (r = 0,30) als für Punktmengen (r = 0,24).
• Er ist am stärksten bei Kopfrechnen und frühen mathematischen Fähigkeiten, also genau dort, wo es um Größen von Zahlen geht.

Eine Langzeitstudie hat 395 Kinder vom Kindergarten bis in die zweite Klasse begleitet (Desoete et al., 2012). Wie gut die Kinder im Kindergarten Punktmengen verglichen, sagte ihre Rechenleistung ein Jahr später voraus. Kinder, die später Rechenschwierigkeiten hatten, zeigten schon im Kindergarten Schwächen beim Vergleichen von Mengen und Ziffern.

Wichtig ist die Einordnung: Eine Korrelation von 0,24 oder 0,30 ist ein mäßiger Zusammenhang. Vergleichen ist eine Grundlage unter mehreren, kein Test, der über die Zukunft eines Kindes entscheidet. Und Zusammenhänge beweisen nicht, dass Vergleichsübungen allein bessere Mathenoten bringen.

Lässt sich Vergleichen üben?

Es gibt ermutigende Hinweise. In einer Studie spielten Vorschulkinder aus Familien mit geringem Einkommen in mehreren kurzen Sitzungen, insgesamt etwa eine Stunde, ein einfaches Brettspiel mit nummerierten Feldern. Danach verglichen sie Zahlen besser, zählten sicherer und erkannten mehr Ziffern. Die Fortschritte hielten neun Wochen später noch an. Kinder, die dasselbe Spiel mit Farbfeldern statt Zahlen spielten, verbesserten sich nicht (Ramani & Siegler, 2008).

Was Sie tun können

1. Paare bilden. Tisch decken: Reicht jeder Teller für einen Löffel? Socken sortieren, Schuhe paaren, Stühle und Kinder zuordnen. Dann fragen: „Bleibt etwas übrig? Was gibt es mehr?“
2. Die drei Wörter benutzen. „Mehr“, „weniger“, „gleich viel“, im Alltag und mit Absicht. „Weniger“ braucht besonders viel Übung.
3. Wer hat mehr? Jedes Kind würfelt und legt so viele Steine. Wer hat mehr, wie viele mehr? So wird aus dem Vergleich der erste Unterschied.
4. Ordentlich legen. Mengen in Fünferreihen gelegt, lassen sich auf einen Blick vergleichen. Wie das funktioniert, steht im Beitrag zur Kraft der Fünf.
5. Zahlenbrettspiele. Einfache Spiele mit nummerierten Feldern von 1 bis 10 oder 1 bis 100 verbinden Zählen, Zahlen und Größe.
6. Ziffernkarten vergleichen. Zwei Karten aufdecken, die größere Zahl gewinnt. Bei Unsicherheit die passende Menge danebenlegen.

Warum uns das beschäftigt

Vergleichen steckt in allem, woran wir bisher gearbeitet haben. Wer eine Zahl zerlegt, muss wissen, dass die Teile kleiner sind als das Ganze. Wer nicht mehr zählend rechnen soll, braucht ein Gefühl dafür, wie groß Zahlen sind. Wir denken gerade darüber nach, wie ein Spiel aussehen könnte, in dem Kinder Mengen vergleichen und den Unterschied sehen. Mehr können wir dazu noch nicht sagen.

Häufige Fragen

Ab wann können Kinder Mengen vergleichen? Eins-zu-eins-Zuordnung nutzen manche Kinder mit knapp drei Jahren (Izard et al., 2014). Das vollständige Verständnis von „gleich viel“ entwickelt sich zusammen mit dem Zählen (Sarnecka & Wright, 2013).

Mein Kind zählt beide Mengen ab, statt zu vergleichen. Ist das schlecht? Nein, Zählen ist ein guter Weg. Zeigen Sie zusätzlich das Paarebilden, so lernt Ihr Kind, dass beides zum gleichen Ergebnis führt.

Ist es ein Warnzeichen, wenn mein Kind „weniger“ verwechselt? Bei Vorschulkindern meist nicht, das ist häufig (Donaldson & Balfour, 1968). Wenn Vergleichen in der ersten Klasse noch große Mühe macht, lohnt ein Blick in unseren Beitrag Rechenschwierigkeiten erkennen.

Quellen

• Desoete, A., Ceulemans, A., De Weerdt, F. & Pieters, S. (2012). Can we predict mathematical learning disabilities from symbolic and non-symbolic comparison tasks in kindergarten? Findings from a longitudinal study. British Journal of Educational Psychology, 82(1), 64–81. https://doi.org/10.1348/2044-8279.002002
• Donaldson, M. & Balfour, G. (1968). Less is more: A study of language comprehension in children. British Journal of Psychology, 59(4), 461–471. https://doi.org/10.1111/j.2044-8295.1968.tb01163.x
• Izard, V., Streri, A. & Spelke, E. S. (2014). Toward exact number: Young children use one-to-one correspondence to measure set identity but not numerical equality. Cognitive Psychology, 72, 27–53. https://doi.org/10.1016/j.cogpsych.2014.01.004
• Ramani, G. B. & Siegler, R. S. (2008). Promoting broad and stable improvements in low-income children’s numerical knowledge through playing number board games. Child Development, 79(2), 375–394. https://doi.org/10.1111/j.1467-8624.2007.01131.x
• Sarnecka, B. W. & Wright, C. E. (2013). The idea of an exact number: Children’s understanding of cardinality and equinumerosity. Cognitive Science, 37(8), 1493–1506. https://doi.org/10.1111/cogs.12043
• Schneider, M., Beeres, K., Coban, L., Merz, S., Susan Schmidt, S., Stricker, J. & De Smedt, B. (2017). Associations of non-symbolic and symbolic numerical magnitude processing with mathematical competence: A meta-analysis. Developmental Science, 20(3), e12372. https://doi.org/10.1111/desc.12372

Lernwunder-Redaktion · Chaolan Lu