Kurz gesagt: Fehler beim Einmaleins sind selten zufällig. Die meisten falschen Antworten stammen aus der Reihe einer der beiden Zahlen (7 · 8 = 48), andere sind Verwechslungen mit Plus (3 · 4 = 7) oder mit einer Regel (0 · 5 = 5). Wer den Fehlertyp erkennt, weiß, ob ein Kind noch verstehen, besser auseinanderhalten oder einfach öfter abrufen muss.

Ein Beispiel, ausgedacht, aber so oder ähnlich in vielen Heften zu finden: Auf einem Übungsblatt stehen 7 · 8 = 48, 6 · 7 = 13 und 9 · 6 = 36. Drei Fehler, dreimal ein rotes Kreuz. Dabei erzählen die drei Fehler ganz verschiedene Geschichten. Bei 48 war das Kind in der richtigen Reihe und ist eine Aufgabe verrutscht. Bei 13 hat es addiert. Und bei 36 hat sich eine Zahl aus der Aufgabe ins Ergebnis geschlichen.

Warum sind Einmaleins-Fehler so oft „fast richtig“?

Weil sich die 100 Aufgaben stark ähneln: dieselben Zahlen, ähnliche Ergebnisse, viele Ergebnisse kommen in mehreren Reihen vor. Forschende beschreiben das Wissen deshalb als Netz von Verknüpfungen, in dem jede Aufgabe nicht nur mit dem richtigen, sondern auch mit falschen Ergebnissen verbunden ist. Je ähnlicher sich Aufgaben sind, desto leichter greift das Gedächtnis daneben (zusammengefasst bei Dotan & Zviran-Ginat, 2022).

Bei Jugendlichen mit Lernschwierigkeiten gehörten die falschen Antworten meist zur Reihe einer der beiden Zahlen, und die schweren Aufgaben waren dieselben wie bei Kindern und Erwachsenen ohne Lernschwierigkeiten (Barrouillet et al., 1997). Die Fehler folgen also der Struktur des Einmaleins.

Welche Fehlertypen gibt es?

Grafik: Fünf typische Einmaleins-Fehler mit Beispiel und Bedeutung. Nachbaraufgabe: 7 · 8 = 48, richtige Reihe, eine Aufgabe verrutscht. Plus statt mal: 3 · 4 = 7, Rechenart verwechselt. Zahl rutscht hinein: 9 · 6 = 36, die 6 aus der Aufgabe steckt im Ergebnis. Null-Regel: 0 · 5 = 5, Regel für die Null verwechselt. Knapp daneben: 4 · 8 = 31, beim Ableiten eins statt einer ganzen Reihe abgezogen.

1. Nachbaraufgabe. 7 · 8 = 48 oder 63. Das Ergebnis gehört zu 6 · 8 oder 7 · 9. Das ist der häufigste Typ. Er zeigt: Das Kind weiß, in welcher Reihe es suchen muss, aber die Aufgaben dort sind noch nicht sauber getrennt.

2. Plus statt mal. 3 · 4 = 7 oder 6 · 7 = 13. In Versuchen mit Erwachsenen kamen solche Verwechslungen der Rechenart ebenfalls vor, dort etwa 2 + 4 = 8 (Campbell, 1994). Bei Kindern sind sie ein Hinweis, auf die Bedeutung zu schauen: „3 mal 4“ heißt drei Vierer.

3. Eine Zahl rutscht hinein. 9 · 6 = 36: Die 6 aus der Aufgabe taucht im Ergebnis auf, und 36 ist zufällig auch ein Ergebnis des Einmaleins. In der Forschung heißen solche Fehler Operand-Intrusionen. Campbell (1994) fand sie bei Erwachsenen, und zwar je nachdem, ob die Aufgaben als Ziffern oder als Zahlwörter dastanden, unterschiedlich häufig. Das Lesen der Zahlen und das Abrufen des Ergebnisses greifen offenbar ineinander.

4. Null-Regel. 0 · 5 = 5. Aufgaben mit 0 werden wohl nicht einzeln gespeichert, sondern als Regel: „mal 0 ergibt 0“. Darauf deuten genaue Fehleranalysen bei zwei Erwachsenen mit erworbenen Rechenstörungen hin (Sokol et al., 1991). Bei Kindern liegt eine Verwechslung mit „plus 0“ oder „mal 1“ nahe. Das ist unsere Überlegung, keine gemessene Häufigkeit.

5. Knapp daneben. 4 · 8 = 31 statt 32. Oft steckt dahinter ein Ableitungsweg, der fast stimmt: von 5 · 8 = 40 aus eins wegnehmen statt einer ganzen Achterreihe. Diesen Denkfehler haben wir im Beitrag über Kernaufgaben genauer beschrieben, und das Rechteck als Malaufgabe hilft, ihn zu sehen.

Was verraten die Fehler über das Lernen?

Vor allem eines: Nicht jeder Fehler braucht dieselbe Hilfe.

Nachbarfehler sind meist ein Problem des Auseinanderhaltens. Viertklässler, die sich Einmaleins-Aufgaben schlecht merken konnten, reagierten auch bei anderen Gedächtnisaufgaben besonders empfindlich auf ähnliche, sich störende Inhalte (De Visscher & Noël, 2014). Ihnen fehlt nicht das Verständnis; die Aufgaben überlagern sich.

Das hat eine praktische Folge. In einer Studie mit 17 Kindern von sechs und sieben Jahren, die das Einmaleins noch nicht kannten, lernten die Kinder je Woche vier Aufgaben. In zwei Wochen waren die vier Aufgaben einander unähnlich, in zwei Wochen ähnlich. Die unähnlichen Aufgaben wurden besser gelernt, und der Unterschied war sieben Wochen nach dem Training noch messbar (Dotan & Zviran-Ginat, 2022). Die Studie ist klein, passt aber zur Fehlerforschung.

Plus-Fehler und Null-Fehler sind eher ein Problem der Bedeutung: Was heißt „mal“? Knapp-daneben-Fehler beim Ableiten zeigen eine Lücke im Bild der Malaufgabe. Und wenn ein Kind nach kurzem Nachdenken die richtige Antwort findet, fehlt vielleicht nur noch das Abrufen, also Übung über mehrere Tage.

Grafik: Wie Droptiply die drei falschen Antworten wählt, am Beispiel 7 · 8 = 56. In den Welten 1 und 2: Zahlen aus demselben Zehner wie 51, 53, 55, dazu Doppeltes oder Halbes und Plus, etwa 28 und 15. In den Welten 3 bis 5: Nachbaraufgaben wie 48, 63, 49, 64, dazu Plus 15 und Zahlen knapp daneben. In den Welten 6 bis 8: Nachbaraufgaben und Zahlen knapp daneben, etwa 48, 63, 54, 55.

Was Sie zu Hause oder in der Klasse tun können

  1. Eine Woche lang Fehler sammeln, nicht zählen. Schreiben Sie jede falsche Antwort mit Aufgabe auf und ordnen Sie sie den fünf Typen zu. Nach ein paar Tagen sehen Sie ein Muster.
  2. Bei Nachbarfehlern: Ähnliches trennen. Üben Sie 7 · 8 nicht direkt neben 6 · 8 und 7 · 9, sondern mischen Sie es mit unähnlichen Aufgaben, etwa 3 · 4 und 9 · 5. Ähnliche Aufgaben kommen an einem anderen Tag dran.
  3. Bei Plus-Fehlern: die Rechenart aussprechen. „Drei Vierer“ statt „drei mal vier“, dazu ein Rechteck auf Kästchenpapier. Wer drei Reihen zu je vier Kästchen sieht, schreibt nicht 7.
  4. Bei Null-Fehlern: eine Geschichte. „Null Teller mit je fünf Keksen, wie viele Kekse?“ und „fünf Teller mit null Keksen?“ Beides ergibt 0.
  5. Fehler-Detektiv mit Begründung. Geben Sie zu einer Aufgabe vier Antworten vor, etwa für 7 · 8: 56, 48, 15, 63. Das Kind wählt und sagt bei jeder falschen, woher sie kommen könnte. In zwei Experimenten halfen gut gemachte Auswahlaufgaben mit plausiblen falschen Antworten, auch das Wissen zu den falschen Antworten zu festigen (Little et al., 2012).
  6. Immer mit Auflösung. Falsche Antwortmöglichkeiten können sich auch einprägen (Roediger & Marsh, 2005). Eine Rückmeldung mit der richtigen Antwort verringert diesen Effekt deutlich (Butler & Roediger, 2008). Lassen Sie eine Auswahlaufgabe also nie ohne Lösung stehen.

Und wenn möglich ohne dicke Kreuze: Ein Fehler ist hier eine Information, kein Urteil.

Wie wir es in Droptiply gelöst haben

In Droptiply beantwortet das Kind jede Aufgabe aus vier Möglichkeiten. Die drei falschen sind nicht zufällig. Die App stellt sie aus einem Vorrat typischer Fehler zusammen, und dieser Vorrat hängt davon ab, in welcher der acht Welten das Kind spielt.

Welten 1 und 2 (Einer-, Zehner- und Fünferreihe): Die falschen Antworten sind vor allem andere Zahlen aus demselben Zehner, dazu das Doppelte oder die Hälfte des Ergebnisses und die Plus-Verwechslung.

Welten 3 bis 5: Jetzt kommen die Nachbaraufgaben dazu, außerdem Plus und Zahlen knapp neben dem Ergebnis.

Welten 6 bis 8 (mit Sieben- und Achterreihe): Nachbaraufgaben und Zahlen knapp daneben. Rechnerisch über alle 100 Aufgaben enthält die Auswahl hier in gut neun von zehn Fällen mindestens eine Nachbaraufgabe.

Die Idee dahinter stammt aus einem Versuch mit Auswahlaufgaben: Falsche Antworten aus der Reihe einer der beiden Zahlen führten zu deutlich mehr Fehlern als Zahlen, die gar nicht im Einmaleins vorkommen (Barrouillet et al., 1997). Am Anfang soll das Kind also vor allem unterscheiden lernen, was überhaupt ein Ergebnis der Reihe sein kann. Später muss es die eng benachbarten Aufgaben auseinanderhalten. Ob diese Abstufung bei Grundschulkindern genau so wirkt, ist nicht eigens untersucht. Es ist unsere Übertragung.

Nach einer falschen Antwort darf das Kind es noch einmal versuchen. Nach dem zweiten Fehlversuch pulsiert die richtige Antwort leicht, nach dem dritten wird sie gezeigt. Keine Aufgabe endet also ohne die richtige Lösung, und Aufgaben, bei denen es hakt, kommen bald wieder. Wie das funktioniert, steht im Beitrag über verteilte Wiederholung.

Zwei Dinge sagen wir offen. Droptiply hat keine Aufgaben mit 0, die Null-Regel übt die App nicht. Und die Welten führen die Reihen nacheinander ein. Neue Aufgaben einer Reihe ähneln sich, was sie nach Dotan und Zviran-Ginat (2022) schwerer machen kann. Dass die früheren Reihen gemischt mitlaufen, dämpft das nur. Gespräche über Fehler kann eine App nicht ersetzen, und sie ersetzt keine Diagnostik.

Häufige Fragen

Ist es schlimm, wenn mein Kind immer wieder 7 · 8 = 48 sagt? Nein. Es zeigt, dass Ihr Kind in der richtigen Reihe sucht. Hilfreich ist, 7 · 8 eine Zeit lang getrennt von 6 · 8 zu üben und das Ergebnis über mehrere Tage abzurufen.

Sind viele Plus-Fehler ein Warnsignal? Am Anfang sind sie normal. Bleiben sie über Wochen, lohnt ein Blick darauf, ob Ihr Kind die Bedeutung von „mal“ verstanden hat, zum Beispiel mit Rechtecken auf Kästchenpapier.

Wann sollte ich mir Sorgen machen? Wenn ein Kind trotz regelmäßiger Übung kaum Aufgaben sicher abrufen kann und dabei Freude und Mut verliert, sprechen Sie mit der Lehrkraft. Eine Fehlerliste wie oben ist für dieses Gespräch eine gute Grundlage.

Mehr zur App finden Sie auf der Seite zu Droptiply.

Quellen

  • Barrouillet, P., Fayol, M. & Lathulière, E. (1997). Selecting between competitors in multiplication tasks: An explanation of the errors produced by adolescents with learning difficulties. International Journal of Behavioral Development, 21(2), 253–275. https://doi.org/10.1080/016502597384857
  • Butler, A. C. & Roediger, H. L. (2008). Feedback enhances the positive effects and reduces the negative effects of multiple-choice testing. Memory & Cognition, 36(3), 604–616. https://doi.org/10.3758/MC.36.3.604
  • Campbell, J. I. D. (1994). Architectures for numerical cognition. Cognition, 53(1), 1–44. https://doi.org/10.1016/0010-0277(94)90075-2
  • De Visscher, A. & Noël, M.-P. (2014). Arithmetic facts storage deficit: The hypersensitivity-to-interference in memory hypothesis. Developmental Science, 17(3), 434–442. https://doi.org/10.1111/desc.12135
  • Dotan, D. & Zviran-Ginat, S. (2022). Elementary math in elementary school: The effect of interference on learning the multiplication table. Cognitive Research: Principles and Implications, 7, 101. https://doi.org/10.1186/s41235-022-00451-0
  • Little, J. L., Bjork, E. L., Bjork, R. A. & Angello, G. (2012). Multiple-choice tests exonerated, at least of some charges: Fostering test-induced learning and avoiding test-induced forgetting. Psychological Science, 23(11), 1337–1344. https://doi.org/10.1177/0956797612443370
  • Roediger, H. L. & Marsh, E. J. (2005). The positive and negative consequences of multiple-choice testing. Journal of Experimental Psychology: Learning, Memory, and Cognition, 31(5), 1155–1159. https://doi.org/10.1037/0278-7393.31.5.1155
  • Sokol, S. M., McCloskey, M., Cohen, N. J. & Aliminosa, D. (1991). Cognitive representations and processes in arithmetic: Inferences from the performance of brain-damaged subjects. Journal of Experimental Psychology: Learning, Memory, and Cognition, 17(3), 355–376. https://doi.org/10.1037/0278-7393.17.3.355

Lernwunder-Redaktion · Chaolan Lu

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