Erst zur Zehn, dann weiter: Strategien für 8 + 5 und eine Brücke aus Bohlen

Kurz gesagt: Für Aufgaben wie 8 + 5 gibt es mehrere Wege ohne Zählen: erst bis zur Zehn und dann weiter (Zehnerstopp), über eine Verdopplung, über zwei Fünfer oder über eine leichtere Hilfsaufgabe. Kinder profitieren, wenn sie mehrere Wege kennen und lernen, den passenden zu wählen. Studien zeigen, dass gezielt erarbeitete Strategien auf neue Aufgaben übertragen werden, reines Drill-Üben dagegen kaum (Baroody et al., 2016).

Eine erfundene, aber typische Szene aus einer Rechenkonferenz in Klasse 1: Die Lehrerin schreibt 7 + 8 an die Tafel. Lena sagt: „Ich hab 7 + 7 gerechnet, das ist 14, und dann noch eins.“ Jonas: „Ich hab die 7 voll gemacht bis 10, da hab ich 3 von der 8 genommen, bleiben noch 5.“ Mila: „Zwei Fünfer sind zehn, und dann noch 2 und 3.“ Drei Kinder, drei Wege, dreimal 15. Genau diese Vielfalt ist das Ziel.

Im ersten Beitrag dieser Reihe ging es darum, warum der Zehnerübergang so schwer ist und wie leicht Kinder dort in der Zählfalle landen. Heute geht es um die Wege hinaus.

Welche Strategien gibt es für den Zehnerübergang?

Vier Wege tauchen in Unterricht und Forschung immer wieder auf.

1. Zehnerstopp: erst zur Zehn, dann weiter. 8 + 5 wird zu 8 + 2 = 10 und dann 10 + 3 = 13. Das Kind zerlegt die zweite Zahl so, dass die erste genau bis zur Zehn aufgefüllt wird. Dafür braucht es sichere Zehnerfreunde, die Zerlegungen bis 10 und das Wissen, dass „zehn und drei“ dreizehn ist.

2. Verdoppeln: von einer bekannten Doppelaufgabe aus. 7 + 8 ist 7 + 7 und eins mehr, also 15. Viele Kinder kennen Verdopplungen früh, oft über die Hände.

3. Kraft der Fünf: zwei Fünfer sind zehn. 8 + 7 wird zu (5 + 3) + (5 + 2): Die beiden Fünfer ergeben 10, dazu 3 und 2, also 15. Wie die Fünferstruktur beim Sehen von Mengen hilft, steht im Beitrag Kraft der Fünf.

4. Hilfsaufgabe: über die 10 rechnen und korrigieren. 9 + 5 ist eins weniger als 10 + 5, also 14. Das lohnt sich vor allem bei Aufgaben mit 9 oder 8.

Für Minusaufgaben gibt es dieselbe Vielfalt: 13 − 5 erst bis zur Zehn zurück (13 − 3 = 10, dann noch 2 weg), 13 − 9 durch Ergänzen (von 9 bis 13 sind es 4), oder über die Umkehraufgabe (13 − 5 = 8, weil 8 + 5 = 13).

Reicht nicht ein einziger Weg?

Der Zehnerstopp ist zuverlässig, aber nicht immer der kürzeste Weg. Bei 7 + 8 ist Verdoppeln oft schneller, bei 9 + 6 die Hilfsaufgabe. Das Ziel heißt in der Forschung adaptive Expertise: Ein Kind kennt mehrere Strategien und wählt die, die zur Aufgabe und zu ihm selbst passt (Verschaffel et al., 2009). Die Autoren betonen, dass dazu auch der Rahmen gehört, in dem gelernt wird. Für uns heißt das: Wer im Unterricht nur einen Weg erlebt, hat wenig Anlass, einen anderen zu wählen.

Wie wichtig das ist, zeigt eine Studie mit 83 Erstklässlern. Sie hatten im Unterricht zwei Wege für Aufgaben über die Zehn gelernt: über die Zehn zerlegen und über Verdopplungen. Kinder mit starken Mathematikleistungen rechneten mit beiden Wegen schneller und genauer. Bei der Wahl, welcher Weg zu welcher Aufgabe passt, waren sie aber nicht geschickter als die anderen (Torbeyns et al., 2005). Mehrere Strategien zu kennen ist also nur die halbe Sache. Das Wählen will eigens geübt werden.

Was zeigt die Forschung über das Üben von Strategien?

Strategien übertragen sich, Drill eher nicht. In einem Experiment mit 85 Kindern vom Kindergarten bis Klasse 3 übten Gruppen zwölf Wochen lang zweimal pro Woche am Computer. Eine Gruppe erarbeitete den Weg über die 10 (9 + 5 ist eins weniger als 10 + 5), eine andere „Minus als Plus“ (für 8 − 5 fragen: Was plus 5 ist 8?), eine dritte übte Aufgaben im reinen Drill. Danach lösten die Strategiegruppen auch ungeübte Aufgaben ihrer Art flüssiger als die Vergleichsgruppen, die Drill-Gruppe hatte diesen Vorteil nicht (Baroody et al., 2016).

Anleitung zählt. In einer Studie mit 78 Erstklässlern führte stark angeleitetes Entdecken von Verdopplungs-Beziehungen zu mehr Übertragung auf ungeübte Aufgaben als bloßes zusätzliches Üben (Purpura et al., 2016). Für uns heißt das: Kinder finden Strategien nicht zuverlässig allein. Sie brauchen Material, Fragen und Gespräche, die die Beziehung sichtbar machen.

Früh ableiten statt lange zählen. In vier österreichischen Klassen, die Zerlegungen und das Ableiten von Anfang an gezielt erarbeiteten, zählten die Kinder am Ende von Klasse 1 bei Aufgaben über die Zehn deutlich seltener als in einer früheren Stichprobe (Gaidoschik & Fellmann, 2015). Die Zahlen dazu stehen im ersten Beitrag.

Was Sie tun können

1. Erst die Bausteine. Prüfen Sie, ob Zehnerfreunde, Verdopplungen bis 5 + 5 und „zehn und …“ sitzen. Ohne sie bleibt jede Strategie mühsam.
2. Eine Strategie mit Material legen. Zwei leere Eierkartons mit je zehn Mulden sind ein Zwanzigerfeld. Legen Sie 8 + 5 mit Knöpfen: Erst wird der erste Karton voll, drei kommen in den zweiten.
3. Verdopplungen mit Händen zeigen. 6 + 6 sind zwei volle Hände und zwei einzelne Finger, also 10 + 2. Dann 6 + 7: „Und eins mehr?“
4. Leicht oder schwer? Schreiben Sie Aufgaben auf Kärtchen (10 + 3, 8 + 5, 9 + 6, 7 + 7) und lassen Sie Ihr Kind sortieren: Was ist leicht, was nicht? Fragen Sie: „Warum ist 10 + 3 so leicht?“ So wird klar, wofür der Weg über die Zehn gut ist.
5. Wege vergleichen. „Wie hast du gerechnet? Ich habe es so gemacht. Welcher Weg gefällt dir besser?“ Das ist eine Rechenkonferenz für zwei.
6. Vom Material in den Kopf. Legen Sie die Aufgabe, dann decken Sie die Knöpfe mit einem Tuch ab und lassen den Weg erzählen. Erst danach ohne Material. Mehr zu diesem Weg in Handeln, Bild, Symbol.

Woran wir arbeiten: eine Brücke aus Bohlen

Unsere neue App „Zehnerübergang - Mathe lernen“ entsteht gerade. Ihre Spielwelt ist die Zehnerbrücke: ein Archipel, in dem das Kind mit dem Otter Pim Brücken zwischen Inseln baut. Einige Entscheidungen stehen fest, und wir begründen sie hier.

Jede Brücke hat genau zehn Bohlen. Fünf sind aus dunklem, fünf aus hellem Holz. Die Bohlen tragen keine Nummern, nur bei fünf und zehn gibt es eine Kerbe. So ist die Brücke ein Zwanzigerfeld in Spielform: Man sieht, wie viele Bohlen liegen und wie viele bis zum Ende fehlen, ohne zu zählen. „Sieben liegen, wie viele fehlen?“ ist dann einfach Ergänzen bis 10. Und 8 + 5 heißt: Erst die Brücke voll machen, dann drei Schritte weiter.

Mehrere Wege statt eines Verfahrens. Die Strategien kommen als Karten: Fünfer, Verdopplung, Zehnertrick und die Brücke, also der Zehnerstopp. Das Kind wählt selbst. Nach einer Aufgabe zeigen andere Spielfiguren ihren Weg, wie in einer Rechenkonferenz. So soll das Wählen geübt werden, das sich nach Torbeyns et al. (2005) nicht von selbst einstellt.

Hände, dann Bild, dann Kopf. Jede Strategie durchläuft vier Stufen: Das Kind legt die Aufgabe selbst, dann sagt es Pim an, was er legen soll, dann geschieht das Gleiche hinter einem Vorhang, und zuletzt rechnet es im Kopf. Gerade diesen Übergang vom Material in die Vorstellung wollen wir bewusst gestalten, statt direkt von der Hand zur Zahl zu springen.

Kein Rot, kein Zeitdruck. Ein Fehler ist eine „wackelige Bohle“, die man nachbessert. Warum wir auf Rot verzichten, steht in Warum Fehler in unseren Apps nicht rot sein sollen.

Die App ist auf bewährter Grundschul-Didaktik aufgebaut. Sie ersetzt keinen Unterricht und keine Förderung, und sie ist noch in keinem Store.

Häufige Fragen

Welche Strategie sollte mein Kind zuerst lernen? Viele Kinder finden Verdopplungen und die Fünferstruktur von selbst leichter. Der Zehnerstopp braucht mehr Voraussetzungen. Wichtiger als die Reihenfolge ist, dass die Bausteine sitzen und dass über Wege gesprochen wird.

Verwirrt es Kinder nicht, mehrere Wege zu lernen? Nicht, wenn die Wege nacheinander eingeführt und verglichen werden. Die Studien von Torbeyns et al. (2005) und Baroody et al. (2016) zeigen, dass Erstklässler mehrere Strategien nutzen und übertragen können.

Muss mein Kind am Ende alle Aufgaben auswendig wissen? Viele Aufgaben werden mit der Zeit abrufbar. Die Strategien bleiben aber wertvoll, als Weg zurück, wenn eine Aufgabe einmal fehlt.

Gilt das auch für größere Zahlen? Ja. 38 + 6 lässt sich genauso rechnen: erst bis 40, dann noch 4. Wer verstanden hat, wie Zehner und Einer zusammenhängen, überträgt den Weg leichter.

Quellen

• Baroody, A. J., Purpura, D. J., Eiland, M. D., Reid, E. E. & Paliwal, V. (2016). Does fostering reasoning strategies for relatively difficult basic combinations promote transfer by K-3 students? Journal of Educational Psychology, 108(4), 576–591. https://doi.org/10.1037/edu0000067
• Gaidoschik, M. & Fellmann, A. (2015). Zählendes Rechnen im 1. Schuljahr: (Vermutlich) weder notwendig noch förderlich. In F. Caluori, H. Linneweber-Lammerskitten & C. Streit (Hrsg.), Beiträge zum Mathematikunterricht 2015 (S. 296–299). WTM. https://doi.org/10.17877/DE290R-16634
• Purpura, D. J., Baroody, A. J., Eiland, M. D. & Reid, E. E. (2016). Fostering first graders’ reasoning strategies with basic sums: The value of guided instruction. The Elementary School Journal, 117(1), 72–100. https://doi.org/10.1086/687809
• Torbeyns, J., Verschaffel, L. & Ghesquière, P. (2005). Simple addition strategies in a first-grade class with multiple strategy instruction. Cognition and Instruction, 23(1), 1–21. https://doi.org/10.1207/s1532690xci2301_1
• Verschaffel, L., Luwel, K., Torbeyns, J. & Van Dooren, W. (2009). Conceptualizing, investigating, and enhancing adaptive expertise in elementary mathematics education. European Journal of Psychology of Education, 24(3), 335–359. https://doi.org/10.1007/BF03174765

Lernwunder-Redaktion · Chaolan Lu